Cálculo del área delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+3$ y $g(x)=x+3$

SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3-x=0$$ esto es $$x\,(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-1 \\ x_2=0 \\ x_3=1\end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-1}^{0}\,(x^3-x)\,dx\right|+\left| \int_{0}^{1}\,(x^3-x)\,dx\right|$$ Una función primitiva de $f(x)-g(x)=x^3-x$ es $\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4 -\dfrac{1}{2}\cdot (-1)^2 \right)\right|+$
                   $+\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 1^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)\right|=$
                         $=\left|-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right|=$
                               $=\left|-(-\dfrac{1}{4})\right|+\left|-\dfrac{1}{4}\right|=$
                                    $=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$
                                          $=\dfrac{1}{2}$ unidades de área
$\square$