Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. En un IES, el $40\,\%$ del alumnado son chicas. El $60\,\%$ de los chicos tiene pendiente alguna asignatura del curso anterior, y el $60\,\%$ de las chicas no tiene ninguna asignatura pendiente del curso anterior. Se escoge una persona al azar entre el alumnado. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga pendiente alguna asignatura del curso anterior ?
b) Si se sabe que la persona elegida no tiene pendiente ninguna asignatura del curso anterior, ¿ cuál es la probabilidad de que se a chico ?

SOLUCIÓN. Referiéndonos a la persona que debemos escoger al azar, denotemos por: $A$ al suceso "ser chico", por $B$ al suceso ser chica, y por $S$ al suceso "tener alguna asignatura pendiente del curso anterior".

Los datos del problema son los siguientes:
  i) $P(B)=0,4$, de lo cual se deduce fácilmente que
      $P(A)=P(\bar{B})=1-P(A)=1-0,4=0,6$
  ii) $P(\bar{S}|B)=0,6$ y, por tanto, $P(S|B)=1-P(\bar{S}|B)=1-0,6=0,4$
  iii) $P(S|A)=0,6$

a) Por el teorema de la probabilidad total,
$P(S)=P(S|A)\,P(A)+P(S|B)\,P(B)$
  $=0,6 \cdot 0,6 +0,4 \cdot 0,4$
  $=0,36+0,16$
  $=0,52$

b)
Por el teorema de Bayes
$P(A|\bar{S})=\dfrac{P(\bar{S|A})\,P(A)}{P(\bar{S})}$
  $\overset{(1,2)}{=}\dfrac{P(\bar{S}|A)\,P(A)}{P(\bar{S}|A)\,P(A)+P(\bar{S}|B)\,P(B)}=\dfrac{0,6\cdot 0,4}{0,6\cdot 0,4 + 0,6\cdot 0,4 }=\dfrac{0,24}{0,48}=0,5$


Aclaraciones:
(1) aplicando, otra vez, el teorema de la probabilidad total
(2) $P(\bar{S}|A)=1-P(S|A)=1-0,6=0,4$

$\square$