Geometría del espacio afín euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(3,1,-2)$ y el plano $\pi\equiv x-y+z-1=0$, se pide:

a) Determínense las coordenadas del punto $P'$, simétrico de $P$ con respecto de $\pi$, y calcúlese la distancia de $P$ a $\pi$ así como la de $P$ a $P'$

b) Elíjase un punto $Q$ de $\pi$ y, a continuación, calcúlese el área del tríangulo $\triangle{OPQ}$, siendo $O$ el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a) Siendo $I$ el punto de intersección de la recta $r$ perpendicular a $\pi$ y que contiene a $P$ y a $P'$, entonces $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

Un vector en la dirección de $r$ es el vector característico del plano $\vec{n}=(1,-1,1)$; y, como $P(3,1,-2)$ está en $r$, podemos escribir fácilmente la ecuación de la recta $r$ en forma continua: $r\equiv \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-(-2)}{1}$, y de esta doble igualdad, deducimos unas ecuaciones implícitas de dicha recta: $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-1=\dfrac{y-1}{-1}\\ \\ x-3=z+2\end{matrix}\right.$$ que, junto con la ecuación del plano, forman un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya solución nos da las coordenadas del punto $I = r \cap \pi$ $$I\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&&&=&4 \\ x&&&-&z&=&5 \end{matrix}\right. \overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&10/3 \\ &&y&&&=&2/3 \\ &&&&z&=&-5/3 \end{matrix}\right. $$ Así, pues, $I(10/3,2/3/-5/3)$. Ahora, de (1): $$\left(x_{P'}-3,y_{P'}-1,z_{P'}-(-2)\right)=2\,\left(\dfrac{10}{3}-3,\dfrac{2}{3}-1,-\dfrac{5}{3}-(-2)\right)$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-3=\dfrac{2}{3} \\ y_{P'}-1=-\dfrac{2}{3}\\z_{P'}-(-2)=\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$$ sistema desacoplado del cual deducimos fácilmente que $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{11}{3} \\ y_{P'}=\dfrac{1}{3}\\z_{P'}=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.$$ así pues encontramos $P'\left(\dfrac{11}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$

Veamos ahora las distancias pedidas: $d(P,P')=2\,d(P,\pi)$ y como $$d(P,P')=\left\| \overset{\rightarrow}{PP'}\right\| = \left| \sqrt{ \left( \dfrac{11}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)^2} \right|=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|}$$ tenemos que $$d(P,\pi)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|} = \dfrac{1}{\left|\sqrt{3} \right|}$$

Nota. Otra forma de calcular estas distancias, sin tener que calcular las coordenadas de $P'$, es la siguiente $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$ luego, con los datos del problema, $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 3-1\cdot (-1) +(-2)\cdot 1+(-1) }{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}$$ luego $$d(P,P')=2\,d(P,\pi)=2\cdot \dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3}\right|}$$

b) Un punto de $\pi$ es $Q(0,0,1)$, pues sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano dado $\pi\equiv x-y+z-1=0$; en efecto, $0-0+1-1=0$. Sabemos que el área pedida viene dada por $$\mathcal{A}_{\triangle{OPQ}}=\dfrac{1}{2}\,\left\|\overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ}\right\|$$ Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{OP}=(3-0,1-0,-2-0)=(3,1,-2)$ y que $\overset{\rightarrow}{OQ}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ vemos que $$ \overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&1&-2\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}=(-1,3,0)$$ donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica $\mathbb{R}^3$. Así pues $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-1)^2+3^2+0^2}\right|= \dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{10}\right|$ unidades de área. $\square$