Un ejercicio de geometría analítica

ENUNCIADO.
(a) Calcúlense las coordenadas de los vectores que sean paralelos al plano $\pi\equiv x-3y+1=0$; que sean ortogonales al vector $\vec{w}=(-1,1,1)$ y que tengan módulo $\sqrt{56}$
(b) Hállese la ecuación del plano que pasa por $P(2,-1,0)$ y tal que $\vec{w}=(-1,1,1)$ sea perpendicular al plano.
(c) Hállese el ángulo formado por la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-3y+2=0\\x-2z+1=0\end{matrix}\right.$ y el plano $\sigma\equiv x-2y+6z=-1$. Si la $r$ corta a $\sigma$, determínese el punto de corte, y si $r$ es paralela a $\sigma$ calcúlese la distancia entre la recta y el plano.

SOLUCIÓN.
(a) Denotemos de forma genérica por $\vec{u}=(x,y,z)$ a los vectores pedidos. Entonces:
i) Al ser $\vec{u}$ paralelo a $\pi$, $\vec{u} \perp \vec{n}=(1,-3,0) \Rightarrow \langle (x,y,z),(1,-3,0)\rangle =0$ y por tanto se tiene que $x-3y=0$
ii) $\vec{u} \perp \vec{w}=(-1,1,1) \Rightarrow \langle (x,y,z),(-1,1,1)\rangle = 0$ con lo cual tenemos que $-x+y+z=0$

Resolviendo el sistema formado por estas dos ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x-3y=0\\-x+y+z=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x=3\,\lambda\\ y:=\lambda\\z=2\,\lambda\end{matrix}\right.$$ Así obtenemos el conjunto de vectores $$\{\lambda\,(3,1,2): \lambda \in \mathbb{R}\}$$ Ahora bien, imponiendo la tercera condición:
iii) el módulo del vector pedido ha de ser igual a $\sqrt{56}$, llegamos a $$56=\lambda^2\cdot (3^2+1^2+2^2) \Rightarrow \lambda=\pm 2$$ En consecuencia, encontramos dos vectores que cumplen las tres condiciones: $\vec{u}_{1}=2\,(3,1,2)=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$

-oOo-Nota 1. Otra forma de encontrar vectores que sean parelelos al plano $\pi$, esto es, perpendiculares a los vectores característicos del mismo, tal como $(1,-3,0)$ ), y perpendiculares también al vector $\vec{w}=(-1,1,1)$, pasa por calcular el vector producto vectorial $(1,-3,0) \times (-1,1,1)=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-3&0\\-1&1&1\end{vmatrix}=(3,1,2)$ ya que sabemos que éste es perpendicular a los dos; así llegamos al conjunto de vectores $\lambda\,(3,1,2)$. Y, finalmente, imponemos la tercera condición $$\left\,\lambda\,(3,1,2)\right\|=|\sqrt{56}|$, como ya se ha explicado anteriormente, deduciendo que $\lambda=\pm\,2$, y, por tanto, encontramos los dos vectores $\vec{u}_{1}=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$ como solución.

Nota 2. Como alternativa, también podemos resolver directamente el sistema de ecuaciones al que llevan las tres condiciones requeridas: $$\left\{\begin{matrix}x-3y=0\\-x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=56\end{matrix}\right.$$ Despejando $x$ de la segunda, obtenemos $x=3y$; y, sustituyendo en la primera, llegamos a $z=2y$. Así, sustituyendo a su vez estas dos expresiones (que dependen de $y$) en la tercera ecuación, resolvemos la ecuación cuadrática $9y^2+4y^2+y^2=56$, que depende de una sóla incógnita, obteniendo $y=\pm\,2$. Por tanto, para $y=2$ concluimos que $x=6$ y $z=4$; y para $y=-2$, llegamos a $x=-6$ y $z=-4$, y de ahí, los dos vectores de la solución: $\vec{u}_{1}=(6,2,4)$ y $\vec{u}_{2}=(-6,-2,-4)$.
-oOo-

(b) Como un vector característico del plano es $\vec{w}=(-1,1,1)$, podemos escribir parcialmente la ecuación general de dicho plano: $-x+y+z+C=0$ Teniendo en cuenta ahora que $P(2,-1,0)$ está en dicho plano, sus coordenadas tendran que satisfacer la ecuación del plano, luego $-2+(-1)+0+C=0 \Rightarrow C=3$. Por consiguiente, la ecuación del plano pedido es $-x+y+z+3=0$

(c) Sabemos que $\measuredangle(r,\sigma)=90^{\circ}-\measuredangle(\vec{u}_r,\vec{n})$, por lo que $$\measuredangle(r,\sigma)=\arcsin\,\dfrac{\langle \vec{u}_r,\vec{n}\rangle}{\left\| \vec{u}_r \right\|\cdot \left\| \vec{n} \right\|} \quad \quad(1)$$ donde $\vec{u}_r$ es un vector en la dirección de $r$ y $\vec{n}$ es un vector perpendicular al plano $\sigma$.

De $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-3y+2=0\\x-2z+1=0\end{matrix}\right.$ deducimos $r\equiv \left\{\begin{matrix}x&=&-1+2\mu \\ y& =&1/3+(2/3)\,\mu\\ z&=&\mu \end{matrix}\right.$ por lo que un vector director de la recta es $(2,2/3,1) \propto (6,2,3)$, en consecuencia tomamos $\vec{u}_r:=(6,2,3)$. Por otra parte, un vector perpendicular al plano $\sigma\equiv x-2y+6z=-1$ es $\vec{n}:=(1,-2,6)$.

Entonces, de (1),
$$\measuredangle(r,\sigma)=\arcsin\,\dfrac{\langle (6,2,3),(1,-2,6)\rangle}{\left\| (6,2,3) \right\|\cdot \left\| (1,-2,6)\right\|}=\arcsin\,\dfrac{20}{7\,|\sqrt{41}|}\approx 26,5^{\circ}$$

Como el ángulo hallado no es igual a $0$ ni a $180^{\circ}$, las recta corta al plano. A continuación, determinaremos dicho punto de corte, $T$; las coordenadas del mismo constituyen la solución del sistema de ecuaciones que forman las dos ecuaciones cartesianas de la recta y la ecuación general del plano:
$$T\equiv\left\{\begin{matrix}x&-&2y&+&6z&=&-1\\x&-&3y&&&=&-2 \\ x&&&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-4/5\\&&y&&&=&2/5 \\ &&&&z&=&1/10\end{matrix}\right. $$ luego las coordenadas del punto $T$ son $(-4/5,2/5,1/10)$
$\square$

Geometría del espacio afín euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(3,1,-2)$ y el plano $\pi\equiv x-y+z-1=0$, se pide:

a) Determínense las coordenadas del punto $P'$, simétrico de $P$ con respecto de $\pi$, y calcúlese la distancia de $P$ a $\pi$ así como la de $P$ a $P'$

b) Elíjase un punto $Q$ de $\pi$ y, a continuación, calcúlese el área del tríangulo $\triangle{OPQ}$, siendo $O$ el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a) Siendo $I$ el punto de intersección de la recta $r$ perpendicular a $\pi$ y que contiene a $P$ y a $P'$, entonces $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

Un vector en la dirección de $r$ es el vector característico del plano $\vec{n}=(1,-1,1)$; y, como $P(3,1,-2)$ está en $r$, podemos escribir fácilmente la ecuación de la recta $r$ en forma continua: $r\equiv \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-(-2)}{1}$, y de esta doble igualdad, deducimos unas ecuaciones implícitas de dicha recta: $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-1=\dfrac{y-1}{-1}\\ \\ x-3=z+2\end{matrix}\right.$$ que, junto con la ecuación del plano, forman un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya solución nos da las coordenadas del punto $I = r \cap \pi$ $$I\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&&&=&4 \\ x&&&-&z&=&5 \end{matrix}\right. \overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&10/3 \\ &&y&&&=&2/3 \\ &&&&z&=&-5/3 \end{matrix}\right. $$ Así, pues, $I(10/3,2/3/-5/3)$. Ahora, de (1): $$\left(x_{P'}-3,y_{P'}-1,z_{P'}-(-2)\right)=2\,\left(\dfrac{10}{3}-3,\dfrac{2}{3}-1,-\dfrac{5}{3}-(-2)\right)$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-3=\dfrac{2}{3} \\ y_{P'}-1=-\dfrac{2}{3}\\z_{P'}-(-2)=\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$$ sistema desacoplado del cual deducimos fácilmente que $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{11}{3} \\ y_{P'}=\dfrac{1}{3}\\z_{P'}=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.$$ así pues encontramos $P'\left(\dfrac{11}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$

Veamos ahora las distancias pedidas: $d(P,P')=2\,d(P,\pi)$ y como $$d(P,P')=\left\| \overset{\rightarrow}{PP'}\right\| = \left| \sqrt{ \left( \dfrac{11}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)^2} \right|=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|}$$ tenemos que $$d(P,\pi)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|} = \dfrac{1}{\left|\sqrt{3} \right|}$$

Nota. Otra forma de calcular estas distancias, sin tener que calcular las coordenadas de $P'$, es la siguiente $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$ luego, con los datos del problema, $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 3-1\cdot (-1) +(-2)\cdot 1+(-1) }{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}$$ luego $$d(P,P')=2\,d(P,\pi)=2\cdot \dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3}\right|}$$

b) Un punto de $\pi$ es $Q(0,0,1)$, pues sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano dado $\pi\equiv x-y+z-1=0$; en efecto, $0-0+1-1=0$. Sabemos que el área pedida viene dada por $$\mathcal{A}_{\triangle{OPQ}}=\dfrac{1}{2}\,\left\|\overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ}\right\|$$ Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{OP}=(3-0,1-0,-2-0)=(3,1,-2)$ y que $\overset{\rightarrow}{OQ}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ vemos que $$ \overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&1&-2\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}=(-1,3,0)$$ donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica $\mathbb{R}^3$. Así pues $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-1)^2+3^2+0^2}\right|= \dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{10}\right|$ unidades de área. $\square$

Ejercicios resueltos del examen de recuperación y mejora de nota realizado el pasado jueves 11/01/2018

[1|2|3|4]

Ecuación general de un plano, dados tres puntos del mismo. Volumen de un tetraedro, dados sus cuatro vértices.

Espacio afín euclídeo. Investigando la incidencia de un plano y una esfera

Ecuación de un plano que contiene a dos rectas paralelas dadas. Distancia euclídea de un punto a una recta

Espacio afín euclídeo. Incidencias entre un plano y una esfera

Simetría de un punto con respecto a un plano

ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,1,1)$ con respecto del plano $\pi\equiv x+y+z-1=0$

SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$ con respecto de $\pi$. Sea la recta $r$ perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $r$ y $\pi$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

Un vector en la dirección de la recta $r$ que es perpendicular al plano $\pi$ es $\vec{u}:=\vec{n}$, donde $\vec{n}=(1,1,1)$ es el vector característico del plano $\pi$, que deducimos de la ecuación general del mismo ( cuyos coeficientes $A,B$ y $C$ son $A=B=C=1$ ). Veamos la ecuación en forma continua de la recta $r$, que pasa por $P(1,1,1)$ $$r\equiv \dfrac{x-x_{P}}{u_1}=\dfrac{y-y_{P}}{u_2}=\dfrac{z-z_{P}}{u_3}$$ que, con los datos, se concreta en $$r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$$

Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x-1=y-1 \\ x-1=z-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x+y+z=1 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=\dfrac{1}{3}$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ y_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \\ z_{P'}-1=2\cdot (1/3-1) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=-1/3 \\ y_{P'}=-1/3 \\ z_{P'}=-1/3 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(-1/3,-1/3,-1/3)$

$\square$

Punto simétrico de un cierto punto con respecto de una recta dada

ENUNCIADO. Calcular las coordenadas del punto simétrico de $P(1,2,3)$ con respecto de la recta $r\equiv x=y=z$

SOLUCIÓN. Denotemos por $P'$ al punto simétrico de $P$. Sea la recta $s$ perpendicular a $r$ que pasa por $P$ e $I$ el punto de intersección de $s$ y $r$. Entonces $\text{distancia}(P,I)=\text{distancia}(I,P')$ y por tanto $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

La recta $s$ está contenida en un plano $\pi$, que ha de ser perpendicular a $r$. Veamos la ecuación general de dicho plano: Un vector característico de $\pi$ es $\vec{n}:=\vec{u}=(1,1,1)$ donde $\vec{u}$ es un vector que tiene la dirección de $r$, en consecuencia $\pi\equiv 1\cdot x+ 1\cdot y + 1 \cdot z+D=0$, y como $P(1,2,3)$ está en $\pi$ ( por estar en $s$ ), ha de cumplirse que $1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$; así pues $\pi \equiv x+y+z-3=0$

Las coordenas de $I = \pi \cap r$ vienen dadas por la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x+y+z=3 \\ x=y \\ x=z\end{matrix}\right.$$ con lo cual $x=y=z=1$. Entonces, de (1) podemos escribir
$$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-x_{P}=2\,(x_{I}-x_{P}) \\ y_{P'}-y_{P}=2\,(y_{I}-y_{P})\\ z_{P'}-z_{P}=2\,(z_{I}-z_{P}) \end{matrix}\right.$$ y con los datos del problema $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-1=2\cdot (1-1) \\ y_{P'}-2=2\cdot (1-2) \\ z_{P'}-3=2\cdot (1-3) \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_{P'}=1 \\ y_{P'}=0 \\ z_{P'}=-1 \end{matrix}\right. $$ por lo que el punto pedido es $P'(1,0,-1)$

$\square$

Espacio afín euclídeo. Ejercicio de geometría analítica (artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donats els punts de l'espai afí euclidià $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
trobeu un punt $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que compleix que: el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles, essent $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ els costats iguals.

Solució:
Els components d'un vector director de $r$ venen donats pels denominadors dels membres de l'equació en forma contínua, per tant
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triangle $\triangle{PQR}$ és isòsceles i els costats iguals són $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ s'ha de complir que
    $\angle (\vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos {\big( \angle(\vec{u},\vec{RP})\big)}=-\cos{ \big(\angle(\vec{u},\vec{RQ})\big) }$
per tant, d'acord amb la definició del producte escalar euclidià,
    $\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RP} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{ \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle }{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
i atès que
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podem escriure
    $ \langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =- \langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle \quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $ \langle .\;,\;. \rangle $ designa el produce escalar usual ( expressant els vectors respecte de la base canònica ), així, per exemple $\langle v,w \rangle =v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
Llavors, si $R(x_R,y_R,z_R)$, i tenint en compte els vectors de posició, de la relació vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podem escriure:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
i
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculant, ara, el valor del producte escalar dels dos membres de (*), trobem:
    $\langle \vec{u},\vec{RP} \rangle =\langle (2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R) \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\langle \vec{u},\vec{RQ} \rangle=\langle (2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)\rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificant i igualant ambdues expressions arribem a
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Per altra banda, tenint en compte que $R(x_R,y_R,z_R)$ és un punt de la recta $r$, s'ha de complir la doble igualtat de l'equació en forma contínua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolent el sistema format per les equacions (1), (2) i (3), trobarem, finalment, les coordenades del punt $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

i esglaonant-lo pel mètode de Gauss procedim a fer les operacions elementals convenients entre equacions:

fent
    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obtenim el sistema equivalent

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

ara, per comoditat, canviem l'ordre de la segona incògnita i de la tercera incògnita:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

i, per acabar el procés de reducció, fem
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
obtenint el sistema esglaonat

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

El nombre d'equacions no identicament nul·les del sistema esglaonat és $3$, per tant el nombre d'equacions linealment independents és $3$, que coincideix amb el nombre d'incòngites; llavors, pel teorema de Rouché, el sistema és compatible i determinat ( té solució única ), com calia esperar. Trobem-la:

De la tercera equació s'obté el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

Substituint a la segona,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

i posant aquests dos resultats a la primera equació,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]