Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones: volumen de un paralelepípedo y volumen de un tetraedro

A continuación se expone la definición de una operación combinada del producto escalar y del producto vectorial que tiene especial interés ( en este curso ) para calcular los volúmenes de un paralelogramo y de un tetraedro.

Definición ( producto mixto de tres vectores ):
Sean $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3),\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)$ tres vectores libres del espacio vectorial tridimensional $V$, cuyas coordenadas vienen referidas a una base ortonormal. Se define el producto mixto de $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ como la aplicación $$V \times V \times V \overset{[.,.,.]}{\rightarrow} \mathbb{R}:\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\overset{\text{def}}{=}\langle \vec{u}\,,\,\vec{v} \times \vec{w}\rangle=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Propiedades:
(1) Si uno de los tres vectores es nulo, el producto mixto es nulo

(2)
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{w},\vec{v},\vec{u}]$

(3) Los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente dependientes si y sólo si $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0$

(4)
i) $[\lambda\,\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\lambda\,\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\lambda\,\vec{w}]=\lambda\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

ii) $[\lambda\,\mu\,\vec{u},\vec{v},\nu\,\vec{w}]=\lambda\,\mu\,\nu\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

iii)
$[\vec{u}+\vec{u'},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u'},\vec{v},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v}+\vec{v'},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{v'},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}+\vec{w'}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w'}]$

Volumen de un paralelepípedo:
Consideremos un paralelepípedo representado por la terna de vectores libres no coplanarios $\overset{\rightarrow}{DA}$, $\overset{\rightarrow}{DB}$ y $\overset{\rightarrow}{DC}$. Sabemos que el volumen se obtiene multiplicando el área de una de las caras del paralelepípedo por la distancia a la cara paralela enfrentada, esto es $\left\| \overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB} \right\| \cdot ( \cos\,\measuredangle (\overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB},\overset{\rightarrow}{DC}))$, que es el valor absoluto del producto mixto $\langle \overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB}\,,\,\overset{\rightarrow}{DC}\rangle$; esto es, el volumen del paralelepípedo viene dado por el valor absoluto de $$\begin{vmatrix} x_A-x_D & y_A-y_D & z_A-z_D \\ x_B-x_D & y_B-y_D & z_B-z_D \\ x_C-x_D & y_C-y_D & z_C-z_D \end{vmatrix}$$ que abreviamos escribiendo $$\left|\, \left[\,\overset{\rightarrow}{DA},\overset{\rightarrow}{DB}, \overset{\rightarrow}{DC} \,\right]\, \right|$$

Volumen de un tetraedro:
Teniendo en cuenta que el volumen de un tetraedro es igual a una tercera parte del área de la base ( que es un triángulo ) por la altura ( recordemos que es perpendicular a la base ), considerando un tetraedro genérico cuyos vértices sean $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$ y $D(x_D,y_D,z_D)$, el volumen del mismo viene dado por $$\dfrac{1}{6}\,\left| \, \left[\,\overset{\rightarrow}{DA},\overset{\rightarrow}{DB}, \overset{\rightarrow}{DC} \,\right] \,\right|$$

Nota: Otra forma de entender el factor $\dfrac{1}{6}$ es teniendo en cuenta que un paralelepípedo se descompone en dos prismas de base triangular ( cortándolo por un plano perpendicular a la base y que contenga a la diagonal de la misma ) y cada uno de los dos prismas se descompone a su vez en dos tetraedros con las bases enfrontadas; así que el volumen de uno de esos tetraedros ha de ser igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo.

Ejemplo:

ENUNCIADO. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos $A(3,0,0)$, $B(0,4,0)$, $C(0,0,5)$ y $D(0,0,0)$, ( coordenadas dadas con respecto de la base canónica )

SOLUCIÓN. Los tres vectores con origen en uno de los cuatro puntos -- pongamos que en $D$ -- y extremos respectivos en los otros tres vértices ( vectores sobre tres aristas básicas ) son:
$\vec{u}=\overset{\rightarrow}{DA}=(3,0,0)$
$\vec{v}=\overset{\rightarrow}{DB}=(0,4,0)$
$\vec{w}=\overset{\rightarrow}{DC}=(0,0,5)$

luego el volumen pedido es igual $\dfrac{1}{6}\,\left| [(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)] \right|$
donde $[(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)]=\begin{vmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}=60$
por consiguiente, $\text{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot 60=10 \; (\text{unidades de longitud})^3$

$\square$

Volumen de un paralelepípedo dado por los vectores ...

ENUNCIADO:
Sean los puntos de $\mathbb{R}^3$: $A(3,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(1,1,1)$. Calcular el volumen del paralelepípedo que forman los vectores: $\vec{a}$, dado por $\vec{OA}=(3,0,0)$; $\vec{b}$, dado por $\vec{OB}=(0,2,0)$, y $\vec{c}$, dado por $\vec{OC}=(1,1,1)$, siendo $O(0,0,0)$ el origen de coordenadas.

SOLUCIÓN:
El área, $\mathcal{A}$, del paralelogramo ( de la base del paralelepípedo ), dado por los vectores $\vec{a}$ y $vec{b}$ ( recordemos que tienen origen común en $O$ ) viene dada por $\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|$, siendo
$$ \vec{a} \times \vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
3& 0 &0 \\
0& 2 &0
\end{vmatrix}=6\,\vec{k}$$
donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(1,0,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$. Así, pues, $\mathcal{A}=\left\|6\,\vec{k}\right\|=6 \, \text{unidades de área}$

Para calcular el volumen ( del paralelepípedo ) debemos multiplicar dicha área por la altura del paralelepípedo, y ésta es igual al módulo del vector proyección del vector $\vec{c}$ sobre el vector unitario $\vec{u}$ ( perpendicular al plano que contiene los vectores $\vec{a}$ y $\vec{b}$ ):

$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|$$
siendo $\vec{u}=\dfrac{ \vec{a} \times \vec{b} } { \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}$ que, en este caso, es igual a $\vec{k}=(0,0,1)$

con lo cual
$$\left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=\langle ( 1,1,1),(0,0,1) \rangle=1$$

Por consiguiente,
$$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\|=6 \cdot 1 = 6 \, \text{unidades de volumen} $$

$\square$

OBSERVACIÓN:
También se puede calcular el volumen, $\mathcal{V}$, directamente, del siguiente modo.

Como $$\mathcal{V}=\mathcal{A}\cdot \left\|\overset{\rightarrow}{\text{Proj}_{\vec{u}}}\,\vec{c}\right\| = \displaystyle \left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\| \, \langle \dfrac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left\| \vec{a} \times \vec{b} \right\|}, \vec{c} \rangle = \langle \vec{a} \times \vec{b}, \vec{c} \rangle$$
expresión conocida como producto mixto, y que viene dada por el valor del siguiente determinante
$$\begin{vmatrix}
c_x & c_y & c_z \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
\end{vmatrix}$$
así, en nuestro caso, con los datos del problema
$$\mathcal{V}=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
\end{vmatrix}=1\cdot \begin{vmatrix}
3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{vmatrix}=1 \cdot 6 = 6\, \text{unidades de volumen}$$
$\square$

[nota del autor]