Problemas métricos. Incidencias entre una recta y una esfera; caso en que no hay puntos de contacto

ENUNCIADO. Sea la recta $r \equiv x-1=x-2=x-3$ y la esfera $e\equiv (x-1)^2+y^2+z^2-4=0$. Estudiar la incidencia.

SOLUCIÓN. El radio de la esfera es $R=\left|\sqrt{4}\right|=2\,\text{unidades de longitud}$, el centro de la esfera es epunto $C(1,0,0)$. Calculemos la distancia entre la recta y el centro de la esfera:
$$d(C,r)=\dfrac{\left\|\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}\right\|}{\left\| \vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$ donde $A$ es punto de $r$

Un punto de $r$ es $A(1,2,3)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AC}=(1-1,2-0,3-0)=(0,2,3)$ y un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$, cuyo módulo es $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|=\left|\sqrt{3}\right|$

$\overset{\rightarrow}{AC} \times \vec{u}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}-2\,\vec{k}=(-1,3,-2)$; calculemos ahora su módulo: $\left\|(-1,3,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+3^2+(-2)^2}\right|=\left|\sqrt{14}\right|$

Sustituyendo estos resultados en (1) llegamos a $$d(C,r)=\dfrac{\left|\sqrt{14}\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{\dfrac{14}{3}}\right|\prec R=2 \Rightarrow \text{No hay puntos de contacto entre}\, r\, \text{y}\, e$$

$\square$