Espacio euclídeo. Distancia entre dos rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas
$$r\equiv x=y=z$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&=&1 \\ &&&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Averígüese si dichas rectas se cruzan y, en caso afirmativo, calcúlese la distancia entre ellas.

SOLUCIÓN. Sea $\vec{u}$ un vector que tiene la dirección de $r$ y $\vec{v}$ un vector en la dirección de $s$. Sea $A$ un punto de $r$ y $B$ un punto de $s$. Vamos a estudiar el rango de $\{\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{AB}\}$

Tomamos $\vec{u}:=(1,1,1)$, y, para encontrar un vector de $s$ escribiremos ésta en forma paramétrica: de $s \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&=&1 \\ &&&z&=&0\end{matrix}\right.$ es inmediato pasar a las ecuaciones paramétricas; para ello, escogemos $y$ como variable secundaria ( $\lambda=y$ ), con lo cual $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x=1-\lambda\\y=\lambda\\z=0\end{matrix}\right.$$ de la cual extraemos $\vec{v}:=(-1,1,0)$, y, por otra parte, de las mismas ecuaciones paramétricas, tomando $\lambda:=0$, vemos que un punto válido de $s$ es $B(1,0,0)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AB}=(1-0,0-0,0-0)=(1,0,0)$

Así pues $\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{AB}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}1&1&1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}=3$ ( ya que es claro que $\begin{vmatrix}1&1&1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix} \neq 0$ ), en consecuencia las rectas se cruzan.

Procedemos a calcular la distancia entre las rectas.
Es sabido que $$d(r,s)=\dfrac{\left| \, \left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]\,\right|}{\left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|} \quad \quad (1)$$ donde el producto mixto $\left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]$ se define como $$\left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]\overset{\text{def}}{=}\langle \overset{\rightarrow}{AB}\,,\, \vec{u} \times \vec{v} \rangle = \begin{vmatrix}1&0&0\\ 1&1&1 \\ -1&1&0\end{vmatrix}=-1 $$

por otra parte, $\vec{u} \times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&1 \\ -1&1&0\end{vmatrix}=-\vec{i}-\vec{j}+2\,\vec{k}=(-1,-1,2)$ y por tanto $$\left\|(-1,-1,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$$

Sustituyendo pues en (1), llegamos a $$d(r,s)=\dfrac{\left|-1\right|}{\left|\sqrt{6}\right|}=\dfrac{1}{\left|\sqrt{6}\right|}\,\text{unidades de longitud}$$

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Espacio euclídeo. Problemas métricos. Distancia entre dos rectas que se cruzan

Sean $r$ y $s$ dos rectas que se cruzan. Consideremos dos vectores, $\vec{u}$ y $\vec{v}$, en las direcciones de $r$ y $s$, respectivamente; y sean los puntos $P$ y $Q$, puntos de las rectas $r$ y $s$, respectivamente.

Si las rectas se cruzan y no se cortan -- en ese caso la distancia sería igual a cero --, los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ y el punto $P$ de $r$ caracterizan un plano $\pi$ que es paralelo a otro plano $\pi'$, que es el que contiene a $s$. Denotaremos por $d(r,s)$ la distancia mínima pedida entre las rectas, que se mide sobre la perpendicular de la recta $s$ sobre el plano $\pi$.

Entonces los vectores $\overset{\rightarrow}{PQ}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ conforman un prisma ( oblicuo, en general ) cuyo volumen viene dado por el valor absoluto del producto mixto $\left| \,\left[ \, \overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\, \right] \right|$, si bien, por otra parte también puede calcularse por medio de $\left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\| \cdot d(r,s)$, con lo cual podemos escribir $$\left| \,\left[ \, \overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\, \right] \, \right|= \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\| \cdot d(r,s)$$ y despejando la distancia pedida, $d(r,s)$, obtenemos $$d(r,s)=\dfrac{\left| \,\left[ \, \overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\, \right] \, \right|}{ \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|} \quad \quad (1)$$

Nota: Recordemos que $\left[ \, \overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\, \right]\overset{\text{def}}{=} \langle \, \overset{\rightarrow}{PQ}\,,\,\vec{u} \times \vec{v}\,\rangle $

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Procedimiento alternativo:
Otra forma de llegar a este resultado:
Como los planos $\pi$ y $\pi'$ que contienen respectivamente a $r$ y $s$ son paralelos, un vector característico de $\pi$ ( que contiene a $P$ ) es $\vec{u} \times \vec{v} \overset{\text{def}}{=}\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (A,B,C)$ donde $A=\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3\end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3\end{vmatrix}$ y $C=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2\end{vmatrix}$, luego $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$. En consecuencia, $$d(r,s)=d(Q,\pi)=\dfrac{\left|A\,x_Q+B\,y_Q+C\,z_Q+D\right|}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}$$ y también podemos decir que $$d(r,s)=d(P,\pi')=\dfrac{\left|A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D'\right|}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|} \quad \quad (2)$$

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Ejemplo:
ENUNCIADO.
Sean las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{-1}$ y $s\equiv \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{1}$- Calcúlese la distancia entre $r$ y $s$.

SOLUCIÓN.
Procedimiento 1:
Recordemos, de (1), que $$d(r,s)=\dfrac{\left| \,\left[ \, \overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\, \right] \, \right|}{ \left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|}$$ Procedamos pues al cálculo del producto mixto del numerador y del módulo del producto vectorial del denominador.

Un punto $P$ de $r$ es $P(1,0,0)$ y un vector en la dirección de dicha recta es $\vec{u}=(1,1,-1)$; y, un punto $Q$ de $s$ es $Q(0,1,1)$ y un vector en la dirección de dicha recta es $\vec{v}=(2,1,1)$; por otra parte, $\overset{\rightarrow}{PQ}=(0-1,1-0,1-0)=(-1,1,1)$

Entonces $[\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u}\,\vec{v}]=\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1\end{vmatrix}\overset{f_1+f_2 \rightarrow \, f_2}{=}\begin{vmatrix}-1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 1\end{vmatrix}=\overset{\text{Laplace 2ª fila}}{=}2\,\begin{vmatrix}-1&1 \\ 2 & 1\end{vmatrix}=$
  $=2\cdot (-3)=-6$, siendo por tanto $\left|\,[\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u}\,\vec{v}]\,\right|=\left|-6\right|=6$
y
$\vec{u} \times \vec{v}\overset{\text{def}}{=}\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&-1\\2& 1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{i}-3\,\vec{j}-\vec{k}=(2,-3,-1)$ y $\left\|\vec{u}\times \vec{v}\right\|=\left\|(2,-3,-1)\right\|=\left|\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{14}\right|$
Con lo cual, de (1), $$d(r,s)=\dfrac{6}{\left|\sqrt{14}\right|}$$

Procedimiento 2:
Hemos deducido en (2) que $d(r,s)=d(Q,\pi)=\dfrac{\left| A\,x_Q+B\,y_Q+C\,z_Q+D\right|}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}$ Necesitamos pues calcular los coeficientes $A,B,C$ y $D$. Como un vector perpendicular al plano $\pi$ es $\vec{u} \times \vec{v}=(2,-3,-1)$ ( tal como ya hemos calculado al desarrollar el problema mediante el primer procedimiento ), vemos que $A=2$, $B=-3$ y $C=-1$, de modo que $\pi\equiv 2x-3y-z+D=0$. Y, para determinar $D$, imponemos que $P(1,0,0)$ está en $\pi$, luego ha de cumplirse que $2\cdot 1 -3\cdot 0-1\cdot 0 +D=0$, con lo cual $D=-2$. Y siendo $Q$ de $s$ ( y por tanto de $\pi'$, $Q(0,1,1)$, encontramos finalmente la distancia pedida $$d(r,s)=\dfrac{\left|2\cdot 0-3\cdot (-1)-1\cdot 1-2\right|}{\left|\sqrt{2^2+(-3)^2+(-1)^2}\right|}=\dfrac{6}{\left|\sqrt{14}\right|}$$

$\square$