Vectores perpendiculares

ENUNCIADO. Un cierto cuadrilátero tiene por vértices los puntos $A(1,-2,2)$, $B(1,4,0)$, $C(-4,1,1)$ y $D(-5,-5,3)$. Demuéstrese que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares entre sí.

SOLUCIÓN. Calculemos los vectores sobre cada una de las dos diagonales:
$\overset{\rightarrow}{AC}=(-4-1,1-(-2),1-2)=(-5,3,-1)$
$\overset{\rightarrow}{BD}=(-5-1,-5-4,3-0)=(-6,-9,3)$
Veamos ahora si el producto escalar de estos dos vectores es nulo; si es así, habremos demostrado que son ortogonales y por tanto que las diagonales referidas lo son. En efecto,
$\langle \overset{\rightarrow}{AC}\,,\,\overset{\rightarrow}{BD} \rangle =\langle (-5,3,-1),(-6,-9,3)\rangle =$
    $=-5\cdot (-6)+3\cdot (-9)+(-1)\cdot 3=0 \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AC} \perp \overset{\rightarrow}{BD}$
$\square$