Ecuación general de un plano, dados tres puntos del mismo. Volumen de un tetraedro, dados sus cuatro vértices.

Ecuación general de un plano. Vector característico de un plano.

Sean $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ dos vectores paralelos a un plano $\pi$, y $P(x_P,y_P,z_P)$ un punto del mismo. Entonces, las ecuaciones paramétricas de dicho plano son $$\pi\equiv \left\{\begin{matrix}x-x_P & = & \lambda\, u_1 &+& \mu\,v_1 \\ y-y_P & = & \lambda\, u_2 &+& \mu\,v_2 \\ z-z_P & = & \lambda\, u_3 &+& \mu\,v_3\end{matrix}\right.$$ donde $X(x,y,z)$ es un cierto punto $\pi$ que podemos escoger libremente. Elegido $X$, los valores de los parámetros quedan fijados, luego podemos ver estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son $\lambda$ y $\mu$, luego $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_P & u_1 & v_1 \\ y-y_P & u_2 & v_2 \\ z-z_P & u_3 & v_3 \end{pmatrix}=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x-x_P & u_1 & v_1 \\ y-y_P & u_2 & v_2 \\ z-z_P & u_3 & v_3 \end{vmatrix}=0$$ Desarrollando por la primera columna este determinante (Laplace) obtenemos $$(x-x_P)\,\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}-(y-y_P)\,\begin{vmatrix}u_1& v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} + (z-z_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}=0$$ Y denotando: $A=\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$ y $C=\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}$, podemos escribir la ecuación del plano de la forma $\pi\equiv A\,(x - x_P)+B\,(y - y_P)+C\,(z- z_P)=0$, esto es $\pi \equiv A\,x+B\,y+C\,z-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)=0$; y denotando $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$, escribiremos la ecuación general del plano de la forma $$\pi\equiv A\,x+B\,y+C\,z+D=0$$

Observación importante: Démonos cuenta de que un vector perpendicular al plano $\pi$, al que llamaremos vector característico de $\pi$, viene dado por el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$, que, por la definición de esta operación es igual a

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}\, \vec{i}-\begin{vmatrix}u_1& v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}\,\vec{k}$

    $=A\,\vec{i}+B\,\vec{j}+C\,\vec{k}=(A,B,C)$

Entonces, para determinar los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de un plano, conociendo dos vectores paralelos, basta con calcular el producto vectorial de estos dos vectores; y, el valor del coeficiente $D$, se calcula imponiendo que un punto $P$ de $\pi$ conocido satisfaga la igualdad $A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D=0$ con lo cual $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$

$\square$

Determínese la ecuación de un plano que contiene a un punto dado y que es paralelo a una recta dada y perpendicular a otro plano que también nos viene dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación de un plano $\pi$ de que cumpla las siguientes condiciones:
i) Contiene al punto $P(1,0,-1)$
ii) Es perpendicular al plano $\pi'\equiv x-y+2z+1=0$
iii) Es paralelo a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-2y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$

SOLUCIÓN.
El plano pedido viene determinado por $(\vec{n},P)$, donde $\vec{n}$ es un vector en la dirección perpendicular a dicho plano y $P$ está en $\pi$. Conocemos las coordenadas de un punto que está en $\pi$, $P(1,0,-1)$, pero no conocemos directamente las coordenadas de $\vec{n}$; procedamos pues a determinar $\vec{n}$:

Sabemos que si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores paralelos a $\pi$, entonces $\vec{u} \times \vec{v}$ es un vector perpendicular a $\pi$, con lo cual tomaremos $\vec{n}:=\vec{u} \times \vec {v} \quad \quad (1)$


El vector característico de $\pi'\equiv x-y+2z+1=0$, cuyas coordenadas son $(1,-1,2)$, es perpendicular a $\pi'$, luego es paralelo a $\pi$, por tanto tomaremos $\vec{v}:=(1,-1,2)$


Por otra parte, las ecuaciones implícitas de $r$ forman un sistema compatible indeterminado con una variable secundaria $\left\{\begin{matrix}x-2y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$. Eligiendo $y$ como variable secundaria, $y=\lambda$, escribimos las ecuaciones paramétricas de dicha recta, $r \equiv \left\{\begin{matrix}x=2\,\lambda \\ y=\lambda \\z=0\end{matrix}\right.$, con lo cual podemos decir que $\left\{\begin{matrix}x-0=2\,\lambda \\ y-0=1\cdot \lambda \\ z-0=0\cdot \lambda\end{matrix}\right.$, en consecuencia un vector de la dirección de $r$, y por tanto también paralelo a $\pi$, tiene por coordenadas $(2,1,0)$; así pues tomamos $\vec{u}:=(2,1,0)$


Ahora, de (1), el vector característico de $\pi$ es
$\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 2\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 2\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 &
-1\end{vmatrix}\,\vec{k}=2\,\vec{i}-4\,\vec{j}-3\,\vec{k}=(2,-4,-3)$
con lo cual la ecuación general del plano pedido es $\pi\equiv 2\,x-4\,y-3\,z+D=0$, en la que sólo falta por determinar el valor del coeficiente $D$; para ello, imponemos la condición $P(1,0,-1) \in \pi$, luego $$2\cdot 1-4\cdot 0 -3\cdot (-1)+D =0 \Leftrightarrow D=-4$$ Así pues $\pi\equiv 2\,x-4\,y-3\,z-5=0$

$\square$

Vector característico de un plano. Vector normal a un plano. Ecuación normal de un plano

ENUNCIADO. Demuéstrese que dado un plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$ ( ecuación general ), entonces el vector $A\,\vec{i}+B\,\vec{j}+C\,\vec{k}$ es perpendicular a $\pi$

SOLUCIÓN. Sean dos puntos $P(x_P,y_P,z_P)$ y $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ dos puntos del plano $\pi$, entonces se cumple que:
$$A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D=0 \quad \quad (1)$$ $$A\,x_Q+B\,y_Q+C\,z_Q+D=0 \quad \quad (2)$$ Restando, miembro a miembro, (1) de (2) obtenemos $$A\,(x_P-x_Q)+B\,(y_P-y_Q)+C\,(z_P-z_Q)=0 \quad \quad (3)$$
pero teniendo en cuenta que el vector $\overset{\rightarrow}{PQ}=(x_Q-x_P,y_Q-y_P,z_Q-z_p)$ está en $\pi$, (3) nos lleva a que se cumpla que $$\langle (A,B,C) \,,\,\overset{\rightarrow}{PQ}\rangle=0$$ y por tanto $(A,B,C) \perp \overset{\rightarrow}{PQ}$, es decir, el vector $(A,B,C)$ es perpendicular al plano $\pi$

Observación:

Un vector unitario perpendicular al plano $\pi$ es, entonces, $\vec{n_1}=\dfrac{\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}=(\dfrac{A}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|},\dfrac{B}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|},\dfrac{C}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|})$ por lo que denominamos ecuación normal del plano a
$\pi \equiv \dfrac{A}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}\,x + \dfrac{B}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}\,y + $
            $ + \dfrac{C}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}\,z + \dfrac{D}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}=0$

Ejemplo de aplicación:
ENUNCIADO. Determínese la ecuación general de un plano $\pi \equiv Ax+By+Cz+D=0$ que contiene a los vectores $\vec{u}=(-1,3,1)$ y $\vec{v}=(2,1,-1)$ y al punto $P(1,1,1)$

SOLUCIÓN. Un vector perpendicular a $\pi$ viene dado por $\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}=(-4,1,-7)$, luego $A=-4$, $B=1$ y $C=-7$, con lo cual podemos escribir $$\pi \equiv -4x+y-7z+D=0$$ Determinemos ahora el valor del coeficiente $D$ imponiendo que $P$ está en $\pi$, por lo que se deberá cumplir $$-4\cdot 1 +1\cdot 1-7\cdot 1+D=0 \Leftrightarrow D=10$$ y, por consiguiente, la ecuación del plano pedido es $$\pi \equiv -4x+y-7z+10=0$$

Observación: Teniendo en cuenta que $\left\|\vec{n}\right\|=\left\|(-4,1,-7)\right\|=\left|\sqrt{(-4)^2+1^2+(-7)^2}\right|=\left|\sqrt{66}\right|$, escribiremos la ecuación normal de dicho plano de la forma: $$\pi \equiv \dfrac{-4}{\left|\sqrt{66}\right|}\,x+\dfrac{1}{\left|\sqrt{66}\right|}\,y+\dfrac{-7}{\left|\sqrt{66}\right|}\,z+\dfrac{10}{\left|\sqrt{66}\right|}=0$$

$\square$