ENUNCIADO. La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de $5$ años es del $10\,\%$. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos $10$ peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de $5$ años
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay $200$ peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de $5$ años hayan sobrevivido al menos $10$ de ellos
SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de peces que han sobrevivido más de 5 años". Es claro que $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, donde la probabilidad de éxito es $p=0,1$
a) La probabilidad de que sobrevivan al menos $2$ peces es:
$P\{X \ge 2\}=1-P\{X \le 1\} =1-( P\{X=0\} + P\{X=1\})=$
$\displaystyle =1- \left( 0,9^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0,1^{1}\cdot 0,9^{9} \right) \approx 0,2639$
b)
Ahora; $n:=200$, que por su magnitud es necesario aproximar, si es posible, la distribución binomial de $X$, $B(n,p)$, por una d. normal $Y$, $N(\,np, \sqrt{np(1-p})\,)$. Veamos si es razonable hacerlo: como $n\cdot p = 200\cdot 0,10 = 20 \succ 5$, sí lo es.
Teniendo en cuenta que la media es $\mu=np=200\cdot 10=20$ y la desviación estándar $\sigma=\sqrt{200\cdot 0,1\cdot 0,9} \approx 4,24$, podemos escribir:
$P\{X\ge 10\} \approx P\{Y \ge 10-0,5\}=$ ( aplicamos también la corrección de continuidad de Yates )
$=P\{Y \ge 9,5\}$
$=P\{Z \ge \dfrac{9,5-20}{4,24}\approx -2,48\}$ ( tipificación $Y \rightarrow Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$, que es $N(0,1)$, para poder así usar las tablas de dicha función de distribución )
$=1-P\{Z \le -2,48\}$
$=1-P\{Z \ge 2,48\}$
$=1-( 1- P\{Z \le 2,48\} )$
$=P\{Z \le 2,48\}$
$\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0,9934 \approx 99\,\%$
$\square$
viernes, 14 de junio de 2019
jueves, 13 de junio de 2019
Un ejercicio en el espacio euclídeo R^3
ENUNCIADO. Dadas las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=z$ y la recta $s$ que pasa por el punto $(2,-5,1)$ y tiene dirección $(-1,0,-1)$, se pide:
a) Estúdiese la posición relativa de las dos rectas
b) Determínese un plano que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$
c) Determínese un plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el origen de coordenadas
SOLUCIÓN.
a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(2,-2,1)$, lo cual deduciomos de interpretar los denominadores de la ecuación de $r$ en forma continua que viene dada en el enunciado $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-0}{1}$; por otra parte, como un punto de dicha recta es $P_{r}(1,3,0)$, un vector que apunta de dicho punto de $r$ a un punto de $s$ tal como $P_{s}(2,-5,1)$ ( dado en el enunciado ) es $\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(2-2,-5-(-2),1-1)=(0,-3,0)$.
Estudiaremos la posición relativa de $r$ y $s$ a partir del estudio del rango del conjunto de vectores $\{\vec{u}_{r}=(2,-2,1),\vec{u}_{s}=(-1,0,-1),\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(0,-3,0)\}$, el cual viene dado por el rango de la matriz que formamos disponiendo las coordenadas de dichos vectores en filas o en columnas ( los dispondremos en filas ): $$\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}$$ El rango de dicha matriz es $3$ puesto que su determinante es distinto de $0$ $$\begin{vmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{vmatrix}=-3\cdot (-1)^{3+2}\,\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=3\cdot (2\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)=-3\neq 0$$ de lo cual deducimos que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
b) Un plano $\pi$ que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$ viene caracterizado por un vector perpendicular al mismo, tal como $\vec{n}_{\pi}:=\vec{u}_{r} \times \vec{u}_{s}$, además de por un punto de dicho plano, que, al incluir a la recta $s$, es, por ejemplo, el punto $P_{s}(1,3,0)$
Entonces, $\vec{n}_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-2&1\\-1&0&-1\end{vmatrix}=(2,1,-2)$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ ( a los cuales se refieren las coordenadas de los datos del problema ). A partir de las coordenadas del vector perpendicular al plano que acabamos de encontrar, sabemos que los coeficientes $A,B$ y $C$ de la ecuación del plano en forma general $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ corresponden a las coordenadas del mismo: $A=2$, $B=1$ y $C=-2$; así que, podemos escribir que $\pi \equiv 2x+y-2z+D=0$. Determinamos $D$ teniendo en cuenta que $P_{s} \in \pi$, con lo cual $2\cdot 2+(-5)\cdot 1 -2\cdot 1+D=0 \Rightarrow D=3$, en consecuencia la ecuación del plano pedido es: $$\pi \equiv 2x+y-2z+3=0$$
c)
Denotemos por $\sigma$ al plano pedido ( perpendicular a $r$ y que pase por $O(0,0,0)$ ) y por $\vec{n}_{\sigma}$ un vector perpendicular a dicho plano; entonces podemos tomar $\vec{n}_{\sigma}:=\vec{u}_{r}=(2,-2,1)$, con lo cual $\sigma\equiv 2x-2y+z+D=0$; y, como, $O(0,0,0)\in \sigma$ ha de cumplirse que $2\cdot 0-2\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\sigma \equiv 2x-2y+z=0$$
$\square$
a) Estúdiese la posición relativa de las dos rectas
b) Determínese un plano que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$
c) Determínese un plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el origen de coordenadas
SOLUCIÓN.
a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(2,-2,1)$, lo cual deduciomos de interpretar los denominadores de la ecuación de $r$ en forma continua que viene dada en el enunciado $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-0}{1}$; por otra parte, como un punto de dicha recta es $P_{r}(1,3,0)$, un vector que apunta de dicho punto de $r$ a un punto de $s$ tal como $P_{s}(2,-5,1)$ ( dado en el enunciado ) es $\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(2-2,-5-(-2),1-1)=(0,-3,0)$.
Estudiaremos la posición relativa de $r$ y $s$ a partir del estudio del rango del conjunto de vectores $\{\vec{u}_{r}=(2,-2,1),\vec{u}_{s}=(-1,0,-1),\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(0,-3,0)\}$, el cual viene dado por el rango de la matriz que formamos disponiendo las coordenadas de dichos vectores en filas o en columnas ( los dispondremos en filas ): $$\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}$$ El rango de dicha matriz es $3$ puesto que su determinante es distinto de $0$ $$\begin{vmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{vmatrix}=-3\cdot (-1)^{3+2}\,\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=3\cdot (2\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)=-3\neq 0$$ de lo cual deducimos que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.
b) Un plano $\pi$ que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$ viene caracterizado por un vector perpendicular al mismo, tal como $\vec{n}_{\pi}:=\vec{u}_{r} \times \vec{u}_{s}$, además de por un punto de dicho plano, que, al incluir a la recta $s$, es, por ejemplo, el punto $P_{s}(1,3,0)$
Entonces, $\vec{n}_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-2&1\\-1&0&-1\end{vmatrix}=(2,1,-2)$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ ( a los cuales se refieren las coordenadas de los datos del problema ). A partir de las coordenadas del vector perpendicular al plano que acabamos de encontrar, sabemos que los coeficientes $A,B$ y $C$ de la ecuación del plano en forma general $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ corresponden a las coordenadas del mismo: $A=2$, $B=1$ y $C=-2$; así que, podemos escribir que $\pi \equiv 2x+y-2z+D=0$. Determinamos $D$ teniendo en cuenta que $P_{s} \in \pi$, con lo cual $2\cdot 2+(-5)\cdot 1 -2\cdot 1+D=0 \Rightarrow D=3$, en consecuencia la ecuación del plano pedido es: $$\pi \equiv 2x+y-2z+3=0$$
c)
Denotemos por $\sigma$ al plano pedido ( perpendicular a $r$ y que pase por $O(0,0,0)$ ) y por $\vec{n}_{\sigma}$ un vector perpendicular a dicho plano; entonces podemos tomar $\vec{n}_{\sigma}:=\vec{u}_{r}=(2,-2,1)$, con lo cual $\sigma\equiv 2x-2y+z+D=0$; y, como, $O(0,0,0)\in \sigma$ ha de cumplirse que $2\cdot 0-2\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\sigma \equiv 2x-2y+z=0$$
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Un ejercicio de integración y análisis de funciones
ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$, se pide:
a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva de $f(x)$
b) Encuéntrese un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analícese si dicho punto es extremo relativo.
c) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ y $x=e$
SOLUCIÓN.
a)
Si existen asíntotas horizontales, éstas tendran pendiente nula, por lo que podemos encontrarlas mediante el procedimiento más general de encontrar asíntotas oblicuas ( $y=mx+k$ [1]) con $m=0$. Sabemos que $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, haciendo tender la variable de control del límite a $+\infty$ por estar definida dicha función $f(x)$ en $(0,+\infty)$
Entonces, $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x^2}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, por lo que podemos asegurar que la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal ( no tiene asíntotas oblicuas con $m\neq 0$ ).
Una vez conocido el valor de $m$, el término independiente de [1] viene dado por el valor del límite $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(\dfrac{\ln\,x}{x}-0\cdot x)=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
Así pues, de [1], la ecuación de la única asíntota horizontal que tiene la función es $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
b)
La condición necesaria que tiene que cumplir un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego procedamos a encontrar extremos relativos, pues en estos puntos la pendiente de la recta tangente a la curva de $f(x)=0$ ha de ser $0$. Calculemos la función derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\left( \dfrac{\ln\,x}{x} \right)'=\left( x^{-1}\,\ln\,x \right)'=-1\cdot x^{-2}\,\ln\,x+\dfrac{1}{x}\,x^{-1}=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}$$ y $$\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}=0\Leftrightarrow x^{*}=e$$ por consiguiente, en el punto $(e,f(e))$ la recta tangente a la curva $f(x)$ es paralela al eje de abscisas ( tiene pendiente nula ).
c) $\displaystyle \text{Área}=\left| \int_{r}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx \right|$, donde $r$ es la raíz de $f(x)$, cuyo valor es $r=1$, ya que $\dfrac{\ln\,x}{x}=0 \Leftrightarrow x=1$. La siguiente figura ilustra la situación:
Así pues $$\displaystyle \text{Área}=\int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx\overset{\text{Barrow}}{=}F(e)-F(1)\quad \quad [1]$$ donde una función primitiva $F(x)$ de $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$ la obtenemos del cálculo de la integral indefinida $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,\int\,d\left((\ln\,x)^2\right)^\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2+C$, con lo cual, tomando $F(x)=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2$, encontramos ( de [1] ) que el área pedida es igual a $$\displaystyle \int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,e)^2-\dfrac{1}{2}\,(\ln\,1)^2=\dfrac{1}{2}\cdot 1 -\dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{1}{2}\,(\text{unidades de longitud})^2$$
$\square$
a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva de $f(x)$
b) Encuéntrese un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analícese si dicho punto es extremo relativo.
c) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ y $x=e$
SOLUCIÓN.
a)
Si existen asíntotas horizontales, éstas tendran pendiente nula, por lo que podemos encontrarlas mediante el procedimiento más general de encontrar asíntotas oblicuas ( $y=mx+k$ [1]) con $m=0$. Sabemos que $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, haciendo tender la variable de control del límite a $+\infty$ por estar definida dicha función $f(x)$ en $(0,+\infty)$
Entonces, $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x^2}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, por lo que podemos asegurar que la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal ( no tiene asíntotas oblicuas con $m\neq 0$ ).
Una vez conocido el valor de $m$, el término independiente de [1] viene dado por el valor del límite $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(\dfrac{\ln\,x}{x}-0\cdot x)=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$
Así pues, de [1], la ecuación de la única asíntota horizontal que tiene la función es $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
b)
La condición necesaria que tiene que cumplir un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego procedamos a encontrar extremos relativos, pues en estos puntos la pendiente de la recta tangente a la curva de $f(x)=0$ ha de ser $0$. Calculemos la función derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\left( \dfrac{\ln\,x}{x} \right)'=\left( x^{-1}\,\ln\,x \right)'=-1\cdot x^{-2}\,\ln\,x+\dfrac{1}{x}\,x^{-1}=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}$$ y $$\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}=0\Leftrightarrow x^{*}=e$$ por consiguiente, en el punto $(e,f(e))$ la recta tangente a la curva $f(x)$ es paralela al eje de abscisas ( tiene pendiente nula ).
c) $\displaystyle \text{Área}=\left| \int_{r}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx \right|$, donde $r$ es la raíz de $f(x)$, cuyo valor es $r=1$, ya que $\dfrac{\ln\,x}{x}=0 \Leftrightarrow x=1$. La siguiente figura ilustra la situación:
Así pues $$\displaystyle \text{Área}=\int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx\overset{\text{Barrow}}{=}F(e)-F(1)\quad \quad [1]$$ donde una función primitiva $F(x)$ de $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$ la obtenemos del cálculo de la integral indefinida $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,\int\,d\left((\ln\,x)^2\right)^\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2+C$, con lo cual, tomando $F(x)=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2$, encontramos ( de [1] ) que el área pedida es igual a $$\displaystyle \int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,e)^2-\dfrac{1}{2}\,(\ln\,1)^2=\dfrac{1}{2}\cdot 1 -\dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{1}{2}\,(\text{unidades de longitud})^2$$
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Otro ejercicio de álgebra lineal
ENUNCIADO. Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro real $a$
b) Calcúlese, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a=0$
SOLUCIÓN.
a)
I) Procedamos a realizar el análisis del rango por el método de los determinantes ( menores complementarios ). Como el tamaño de la matriz e $3\times 4$, el rango de la misma es menor o igual que $3$. Por otra parte, bbservemos que la sumbmatriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{pmatrix}$ tiene determinante no nulo, $\begin{vmatrix}1&4\\1& 2\end{vmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot -4=-2\neq 0$, por tanto el rango de $A$ es al menos $2$. Para estudiar para qué valores de $a$ el rango es $3$, empleamos el algoritmo del orlado. Orlando esta submatriz nos encontramos solamente con dos menores de orden $2$:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13} & a_{14}\\ a_{21}& a_{23} & a_{24} \\ a_{31}&a_{33} & a_{34}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4&1\\ 1& 2 & 2-a \\ -1&a & a-2\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
y
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&4\\ 1& a & 2 \\ -1&2 & a\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=3$
II) Comentaremos también el método de Gauss. Procedemos a obtener la matriz escalonada de $A$ por reducción de Gauss, pues la matriz escalonada así obtenida es equivalente en rango a la matriz original. El análisis, por este método, consiste en contar el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss que obtendremos, pues éste proporciona el rango de dicha matriz ( y por tanto el de la matriz original ) para el valor o valores del parámetro $a$ que correspondan con las situaciones que aparezcan:
$\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \overset{f_2+f_3\,\rightarrow\, f_3\,,\,-f_1+f_2\,\rightarrow\, f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & a+2 & a+2 & 0 \end{pmatrix}\sim$
$\overset{-(a+2)\,f_2+(a-3)\,f_3\,\rightarrow\, f_3}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & 0 & (a+2)(a-1) & (a+2)(a-1) \end{pmatrix}$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $2$, luego $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $3$, luego $\text{rango}(A)=3$
b) Observemos que $A_{3\times 4}\,M_{4\times 3} \rightarrow C_{3\times 3}$, así que siendo cuadrada, esta matriz tiene asociada matriz inversa, sólo en el caso de que sea regular.
Para $a:=0$, $C\overset{.}{=}\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y como $\begin{vmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\neq 0$, $C$ es regular, y, por tanto, inversible.
Calcularemos ahora la inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan ( que es un método de reducción ), efectuando operaciones elementales entre filas para transformar la matriz $(C|I)$ en la matriz $(I|C^-1)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{2f_2+3f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{-f_2+f_1\,\rightarrow\,f_1\,,\,-f_3+2f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}$
$\rightarrow\,\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&6&0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right)\rightarrow$
$\overset{(-1/6)\,f_2 \,\rightarrow f_2\,,\,(1/2)\,f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5/2 & 3/2 \end{array}\right)$
Así pues, $$C^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -4 & -3\\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$
-oOo-
Nota: Si bien no lo haré aquí (para no alargarme demasiado), recordad que también podéis calcular la matriz inversa por el método de la matriz de los elementos adjuntos: $C^{-1}=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,(\text{Adj}(A))^t=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,\text{Adj}(A^t)$. Aquí podéis leer un artículo (en este mismo blog) donde expongo un ejemplo de cálculo de la matriz inversa (por el método de la matriz de los adjuntos) asociada a una matriz regular que también es de orden $3$, pero distinta a la este ejercicio.
$\square$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro real $a$
b) Calcúlese, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a=0$
SOLUCIÓN.
a)
I) Procedamos a realizar el análisis del rango por el método de los determinantes ( menores complementarios ). Como el tamaño de la matriz e $3\times 4$, el rango de la misma es menor o igual que $3$. Por otra parte, bbservemos que la sumbmatriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{pmatrix}$ tiene determinante no nulo, $\begin{vmatrix}1&4\\1& 2\end{vmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot -4=-2\neq 0$, por tanto el rango de $A$ es al menos $2$. Para estudiar para qué valores de $a$ el rango es $3$, empleamos el algoritmo del orlado. Orlando esta submatriz nos encontramos solamente con dos menores de orden $2$:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13} & a_{14}\\ a_{21}& a_{23} & a_{24} \\ a_{31}&a_{33} & a_{34}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4&1\\ 1& 2 & 2-a \\ -1&a & a-2\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
y
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&4\\ 1& a & 2 \\ -1&2 & a\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=3$
II) Comentaremos también el método de Gauss. Procedemos a obtener la matriz escalonada de $A$ por reducción de Gauss, pues la matriz escalonada así obtenida es equivalente en rango a la matriz original. El análisis, por este método, consiste en contar el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss que obtendremos, pues éste proporciona el rango de dicha matriz ( y por tanto el de la matriz original ) para el valor o valores del parámetro $a$ que correspondan con las situaciones que aparezcan:
$\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \overset{f_2+f_3\,\rightarrow\, f_3\,,\,-f_1+f_2\,\rightarrow\, f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & a+2 & a+2 & 0 \end{pmatrix}\sim$
$\overset{-(a+2)\,f_2+(a-3)\,f_3\,\rightarrow\, f_3}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & 0 & (a+2)(a-1) & (a+2)(a-1) \end{pmatrix}$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $2$, luego $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $3$, luego $\text{rango}(A)=3$
b) Observemos que $A_{3\times 4}\,M_{4\times 3} \rightarrow C_{3\times 3}$, así que siendo cuadrada, esta matriz tiene asociada matriz inversa, sólo en el caso de que sea regular.
Para $a:=0$, $C\overset{.}{=}\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y como $\begin{vmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\neq 0$, $C$ es regular, y, por tanto, inversible.
Calcularemos ahora la inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan ( que es un método de reducción ), efectuando operaciones elementales entre filas para transformar la matriz $(C|I)$ en la matriz $(I|C^-1)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow$
$\overset{2f_2+3f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{-f_2+f_1\,\rightarrow\,f_1\,,\,-f_3+2f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}$
$\rightarrow\,\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&6&0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right)\rightarrow$
$\overset{(-1/6)\,f_2 \,\rightarrow f_2\,,\,(1/2)\,f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5/2 & 3/2 \end{array}\right)$
Así pues, $$C^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -4 & -3\\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$
Nota: Si bien no lo haré aquí (para no alargarme demasiado), recordad que también podéis calcular la matriz inversa por el método de la matriz de los elementos adjuntos: $C^{-1}=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,(\text{Adj}(A))^t=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,\text{Adj}(A^t)$. Aquí podéis leer un artículo (en este mismo blog) donde expongo un ejemplo de cálculo de la matriz inversa (por el método de la matriz de los adjuntos) asociada a una matriz regular que también es de orden $3$, pero distinta a la este ejercicio.
$\square$
miércoles, 12 de junio de 2019
Un ejercicio sobre los teoremas de la probabilidad total y de Bayes
ENUNCIADO. Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un $80\,\%$ de los casos. Si un enfermo es tratado con placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del $10\,\%$. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo. Se pide:
a) Calcúlese la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado
b) Si de un paciente elegido al azar se sabe que ha mejorado, hállese la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento
SOLUCIÓN.
En referencia al paciente elegido al azar, denotemos por $A$ al suceso "ser tratado con medicamento"; por $B$, al suceso "ser tratado con placebo", y por $M$ al suceso "experimentar mejora".
a)
Los sucesos $A$ y $B$ constituyen un conjunto completo de sucesos, pues son disjuntos y el espacio muestral $\Omega$ es la unión de los dos ( decimos que $A$ y $B$ son una partición de $\Omega$ ). Observemos la siguiente figura:
Como $M=(M\cap A)\cup (M \cap B)$ y los sucesos $M\cap A$ y $M\cap B$ son incompatibles, esto es $(M\cap A)\cap (M\cap B)=\emptyset$, entonces podemos escribir $$P(M)=P(M\cap A) + P(M\cap B)$$ Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(M)=P(M|A)\cdot P(A)+P(M|B)\cdot P(B)$$ y, con los datos del problema llegamos a la expresión de la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) $$P(M)=\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}=45\,\%$$
b)
Como $P(A \cap M) = P(M \cap A)$ tenemos que $P(A|M)\cdot P(M)=P(M|A)\cdot P(A)$, de donde se deduce ( teorema de Bayes ): $$P(A|M)=\dfrac{P(M|A)\cdot P(A)}{P(M)}$$ Sustituyendo los datos y el resultado anterior: $$P(A|M)=\dfrac{(8/10)\cdot (1/2)}{9/20}=\dfrac{8}{9}\approx 89\,\%$$
-oOo-
Nota 1: Podemos resolver también el problema con la ayuda de la tabla de contingencia:
Nota 2: También puede ser útil el siguiente diagrama de árbol
$\square$
a) Calcúlese la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado
b) Si de un paciente elegido al azar se sabe que ha mejorado, hállese la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento
SOLUCIÓN.
En referencia al paciente elegido al azar, denotemos por $A$ al suceso "ser tratado con medicamento"; por $B$, al suceso "ser tratado con placebo", y por $M$ al suceso "experimentar mejora".
a)
Los sucesos $A$ y $B$ constituyen un conjunto completo de sucesos, pues son disjuntos y el espacio muestral $\Omega$ es la unión de los dos ( decimos que $A$ y $B$ son una partición de $\Omega$ ). Observemos la siguiente figura:
Como $M=(M\cap A)\cup (M \cap B)$ y los sucesos $M\cap A$ y $M\cap B$ son incompatibles, esto es $(M\cap A)\cap (M\cap B)=\emptyset$, entonces podemos escribir $$P(M)=P(M\cap A) + P(M\cap B)$$ Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(M)=P(M|A)\cdot P(A)+P(M|B)\cdot P(B)$$ y, con los datos del problema llegamos a la expresión de la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) $$P(M)=\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}=45\,\%$$
b)
Como $P(A \cap M) = P(M \cap A)$ tenemos que $P(A|M)\cdot P(M)=P(M|A)\cdot P(A)$, de donde se deduce ( teorema de Bayes ): $$P(A|M)=\dfrac{P(M|A)\cdot P(A)}{P(M)}$$ Sustituyendo los datos y el resultado anterior: $$P(A|M)=\dfrac{(8/10)\cdot (1/2)}{9/20}=\dfrac{8}{9}\approx 89\,\%$$
Nota 1: Podemos resolver también el problema con la ayuda de la tabla de contingencia:
Nota 2: También puede ser útil el siguiente diagrama de árbol
$\square$
Un ejercicio más sobre análisis de funciones
ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|$, se pide:
a) El dominio de definición de dicha función
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Calcular los límites laterales $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}$ y $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}$
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|=x\,\left|\sqrt{4-x^2}\right|$ y para que un $x\in \mathbb{R}$ tenga imagen deberá cumplirse que $4-x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 2 \\ y \\ x\ge -2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in [-2,2]\subset \mathbb{R}$
b) Para encontrar los intervalos de crecimiento/decrecimiento vamos a buscar primero los extremos relativos (e.r.) y a determinar su naturaleza. La condición necesaria que debe cumplir un $x\in \text{Dom}\,f$ para que sea e.r. es que su derivada primera sea nula: $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=2\,\dfrac{2-x^2}{|\sqrt{4-x^2}|}=0 \Leftrightarrow 4-x^2=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{ \begin{matrix}-|\sqrt{2}| \\ \\ |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$
Veamos la naturaleza de estos extremos relativos, utilizando el criterio del cambio de signo de la primera derivada en los puntos a la izquierda y a la derecha del extremo relativo. Es fácil comprobar que:
$f'(-2 \prec x \prec -|\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'(-|\sqrt{2}| \prec x \prec 0)\succ 0$, luego $x_{1}^*=-|\sqrt{2}|$ es la abscisa de un máximo relativo [1]
$f'(0 \prec x \prec |\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'( -|\sqrt{2}| \prec x \prec 2)\prec 0$, luego $x_{2}^*=|\sqrt{2}|$ es la abscisa de otro máximo relativo [2]
La gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas, pues $f(0)=0$; y, por otra parte, las raíces de la función son $f(x)=0\Leftrightarrow 4x^2-x^4=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2\\ 0 \\ 2\end{matrix}\right.$ y por tanto corta al eje de abscisas en los puntos $(-2,0)$, $(0,0)$ y $2,0)$, por lo que teniendo también en cuenta [1] y [2] se deduce de todo ello que la función no es derivable en $x=0$ ( véase el esquema de la gráfica a continuación ).
De lo anterior se deduce que la función crece en los intervalos $I_{1}^{\uparrow}=(-2,-|\sqrt{2}|)$ y $I_{2}^{\uparrow}=(0,|\sqrt{2}|)$; por otra parte, decrece en los intervalos $I_{3}^{\downarrow}=(-|\sqrt{2}|,0)$ y $I_{4}^{\downarrow}=(|\sqrt{2}|,2)$
c)
La función $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=|\sqrt{4-x^2}|$ corresponde a la gráfica de la media circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a $|\sqrt{4}|=2$ que queda por encima del eje de abscisas, luego toma valores positivos a la derecha y a la izquierda de $x=0$.
En consecuencia:
$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(|\sqrt{4-x^2}|)=2$
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a) El dominio de definición de dicha función
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Calcular los límites laterales $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}$ y $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}$
SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|=x\,\left|\sqrt{4-x^2}\right|$ y para que un $x\in \mathbb{R}$ tenga imagen deberá cumplirse que $4-x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 2 \\ y \\ x\ge -2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in [-2,2]\subset \mathbb{R}$
b) Para encontrar los intervalos de crecimiento/decrecimiento vamos a buscar primero los extremos relativos (e.r.) y a determinar su naturaleza. La condición necesaria que debe cumplir un $x\in \text{Dom}\,f$ para que sea e.r. es que su derivada primera sea nula: $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=2\,\dfrac{2-x^2}{|\sqrt{4-x^2}|}=0 \Leftrightarrow 4-x^2=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{ \begin{matrix}-|\sqrt{2}| \\ \\ |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$
Veamos la naturaleza de estos extremos relativos, utilizando el criterio del cambio de signo de la primera derivada en los puntos a la izquierda y a la derecha del extremo relativo. Es fácil comprobar que:
$f'(-2 \prec x \prec -|\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'(-|\sqrt{2}| \prec x \prec 0)\succ 0$, luego $x_{1}^*=-|\sqrt{2}|$ es la abscisa de un máximo relativo [1]
$f'(0 \prec x \prec |\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'( -|\sqrt{2}| \prec x \prec 2)\prec 0$, luego $x_{2}^*=|\sqrt{2}|$ es la abscisa de otro máximo relativo [2]
La gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas, pues $f(0)=0$; y, por otra parte, las raíces de la función son $f(x)=0\Leftrightarrow 4x^2-x^4=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2\\ 0 \\ 2\end{matrix}\right.$ y por tanto corta al eje de abscisas en los puntos $(-2,0)$, $(0,0)$ y $2,0)$, por lo que teniendo también en cuenta [1] y [2] se deduce de todo ello que la función no es derivable en $x=0$ ( véase el esquema de la gráfica a continuación ).
De lo anterior se deduce que la función crece en los intervalos $I_{1}^{\uparrow}=(-2,-|\sqrt{2}|)$ y $I_{2}^{\uparrow}=(0,|\sqrt{2}|)$; por otra parte, decrece en los intervalos $I_{3}^{\downarrow}=(-|\sqrt{2}|,0)$ y $I_{4}^{\downarrow}=(|\sqrt{2}|,2)$
c)
La función $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=|\sqrt{4-x^2}|$ corresponde a la gráfica de la media circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a $|\sqrt{4}|=2$ que queda por encima del eje de abscisas, luego toma valores positivos a la derecha y a la izquierda de $x=0$.
En consecuencia:
$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(|\sqrt{4-x^2}|)=2$
$\square$
Otro ejercicio en el espacio euclídeo R^3
ENUNCIADO. Dados el punto $A(2,1,0)$ y el plano $\pi \equiv 2x+3y+4z=36$, se pide:
a) La distancia del punto $A$ al plano $\pi$
b) Hallar las coordenadas del punto del plano $\pi$ más próximo a $A$
c) Hallar el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$
SOLUCIÓN.
a) Es sabido que la distancia euclídea de un punto $A(x_A,y_A,z_A)$ a un plano $\pi\equiv ax+by+cz+d=0$ viene dada por $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|a\,x_A+b\,y_A+c\,z_A\right|}{\left|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|}$$ entonces, con los datos del enunciado, $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|2\cdot 2+3\cdot 1+0\cdot 4-36\right|}{\left|\sqrt{2^2+3^2+4^2}\right|}=|\sqrt{29}|\,\text{unidades de longitud}$$
b) Sea el punto $X(x,y,z)$ de $\pi$ cuya distancia al punto $A(2,1,0)$ sea mínima, entonces $\overset{\rightarrow}{AX} \perp \pi \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AX} \propto \vec{n}_\pi:=(2,3,4)$, siendo éste un vector perpendicular al plano $\pi$; en consecuencia, $\overset{\rightarrow}{AX}\times \vec{n}_{\pi}=\vec{0}$, y, teniendo en cuenta la definición de producto vectorial y que $\overset{\rightarrow}{AX}=\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OA}=(x-2,y-1,z-0)$, podemos escribir esta condición de la forma
$$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x-2&y-1&z-0\\ 2& 3& 4\end{vmatrix}=(0,0,0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4(y-1)-3z=0\\2z-4(x-2)=0\\3(x-2)-2(y-1)=0\end{matrix}\right.$$ Estas tres ecuaciones, junto con la ecuación del plano ( pues $X \in \pi$ ), forman un sistema de ecuaciones cuya solución ha de ser el punto pedido: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&+&4z&=&36 \\ &&4y&-&3z&=&4 \\ -4x&&&+&2z&=&-8 \\ 3x&-&2y&&&=&4\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim}\left\{\begin{matrix}x=4\\y=4\\z=4\end{matrix}\right. $$
c) El punto hallado en el apartado anterior, $I(4,4,4)$, tiene que ser el punto de intersección del plano $\pi$ con la recta $r$ que pasa por $A(2,1,0)$ y es perpendicular a dicho plano, ya que la distancia entre $I$ y $A$ es mínima y por tanto $\overset{\rightarrow}{AI} \perp \pi$. Denominemos $A'\in r$ al punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$, entonces deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AA'}=2\,\overset{\rightarrow}{AI}$$ esto es $$(x_{A'}-2,y_{A'}-1,z_{A'}-0)=2\,(4-2,4-1,4-0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A'}=6\\y_{A'}=7\\ z_{A'}=8\end{matrix}\right.\rightarrow A'(6,7,8)$$
$\square$
a) La distancia del punto $A$ al plano $\pi$
b) Hallar las coordenadas del punto del plano $\pi$ más próximo a $A$
c) Hallar el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$
SOLUCIÓN.
a) Es sabido que la distancia euclídea de un punto $A(x_A,y_A,z_A)$ a un plano $\pi\equiv ax+by+cz+d=0$ viene dada por $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|a\,x_A+b\,y_A+c\,z_A\right|}{\left|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|}$$ entonces, con los datos del enunciado, $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|2\cdot 2+3\cdot 1+0\cdot 4-36\right|}{\left|\sqrt{2^2+3^2+4^2}\right|}=|\sqrt{29}|\,\text{unidades de longitud}$$
b) Sea el punto $X(x,y,z)$ de $\pi$ cuya distancia al punto $A(2,1,0)$ sea mínima, entonces $\overset{\rightarrow}{AX} \perp \pi \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AX} \propto \vec{n}_\pi:=(2,3,4)$, siendo éste un vector perpendicular al plano $\pi$; en consecuencia, $\overset{\rightarrow}{AX}\times \vec{n}_{\pi}=\vec{0}$, y, teniendo en cuenta la definición de producto vectorial y que $\overset{\rightarrow}{AX}=\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OA}=(x-2,y-1,z-0)$, podemos escribir esta condición de la forma
$$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x-2&y-1&z-0\\ 2& 3& 4\end{vmatrix}=(0,0,0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4(y-1)-3z=0\\2z-4(x-2)=0\\3(x-2)-2(y-1)=0\end{matrix}\right.$$ Estas tres ecuaciones, junto con la ecuación del plano ( pues $X \in \pi$ ), forman un sistema de ecuaciones cuya solución ha de ser el punto pedido: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&+&4z&=&36 \\ &&4y&-&3z&=&4 \\ -4x&&&+&2z&=&-8 \\ 3x&-&2y&&&=&4\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim}\left\{\begin{matrix}x=4\\y=4\\z=4\end{matrix}\right. $$
c) El punto hallado en el apartado anterior, $I(4,4,4)$, tiene que ser el punto de intersección del plano $\pi$ con la recta $r$ que pasa por $A(2,1,0)$ y es perpendicular a dicho plano, ya que la distancia entre $I$ y $A$ es mínima y por tanto $\overset{\rightarrow}{AI} \perp \pi$. Denominemos $A'\in r$ al punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$, entonces deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AA'}=2\,\overset{\rightarrow}{AI}$$ esto es $$(x_{A'}-2,y_{A'}-1,z_{A'}-0)=2\,(4-2,4-1,4-0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A'}=6\\y_{A'}=7\\ z_{A'}=8\end{matrix}\right.\rightarrow A'(6,7,8)$$
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Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra lineal
ENUNCIADO. Un estudiante pidió en la cafetería $3$ bocadillos, $2$ refrescos y $2$ bolsas de patatas y pagó un total lde $19$ euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron $4$ euros.
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
$\square$
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?
SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
$\square$
martes, 11 de junio de 2019
Otro ejercicio de álgebra lineal
ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ 3x&+&4y&+&5z&=&5 \\ 7x&+&9y&+&11z&=&a \end{matrix}\right.\;,\; \text{siendo}\; a\; \text{un parámetro real}$$ Se pide:
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente
SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.
Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:
Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible
b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.
Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$
c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.
Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$
Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$
Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
$\square$
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente
SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.
Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:
Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria
Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible
b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.
Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$
c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.
Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$
Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$
Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
$\square$
Otro ejercicio de geometría. Problemas métricos en el espacio euclídeo R^3
ENUNCIADO. Se considera el plano $\pi\equiv 9x+12y+20z-180=0$. Se pide:
a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan $4$ unidades del mismo
b) Las coordenadas de los puntos $A,B$ y $C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes Ox, Oy y Oz
c) El valor del ángulo formado entre los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos $A,B$ y $C$
SOLUCIÓN.
a) Todo plano $\sigma$ paralelo a $\pi$ que diste de él $4$ unidades deberá tener los mismos coeficientes $a,b$ y $c$ en su ecuación general que los del plano $\pi$, pues ambos tienen el mismo vector característico $\vec{n}_{\sigma}=\vec{n}_{\pi}=(a,b,c)=(9,12,20)$, por lo que su ecuación general $\sigma\equiv ax+by+cz+d_{\sigma}=0$ es $$\sigma\equiv 9x+12y+20z+d_{\sigma}=0$$
Sabemos que $4=\text{dist}(\sigma,\pi)=\text{dist}(P_{\sigma},\pi)$, y escogiendo $P_{\sigma}=(0,0,-d_{\sigma}/20)$, podemos escribir
$$4=\dfrac{\left|9\cdot 0+12\cdot 0+20\cdot (-d_{\sigma}/20) -180 \right|}{\left|\sqrt{9^2+12^2+20^2}\right|}$$ y por tanto $$\dfrac{\left|-d_{\sigma}-180\right|}{25}=4$$ luego $$\left|-d_{\sigma}-180\right|=100 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-d_{\sigma}-180=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{1}}=-280 \\ -(-d_{\sigma}-180)=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{2}}=-80 \\ \end{matrix}\right.$$
Por lo que los dos planos pedidos son: $$\begin{matrix}\sigma_1\equiv 9x+12y+20z-280=0\\ \text{y} \\ \sigma_2\equiv 9x+12y+20z-80=0\end{matrix}$$
b.i)
El eje Ox viene dado por la intersección de los siguientes planos $\left\{\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.$; el eje Oy por $\left\{\begin{matrix}x=0\\z=0\end{matrix}\right.$, y el eje Oz por $\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$
Así pues
$$A=\pi \cap Ox \equiv \left\{\begin{matrix}97x+12y+20z -180 =0\\ y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(180/9,0,0)=(20,0,0)$$
$$B=\pi \cap Oy \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(0,180/12,0)=(0,15,0)$$
$$C=\pi \cap Oz \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ y=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; C=(0,0,180/20)=(0,0,9)$$
b.ii)
$\overset{\rightarrow}{AB}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,15,0)-(20,0,0)=(-20,15,0)$
$\overset{\rightarrow}{AC}=\overset{\rightarrow}{OC}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,0,9)-(20,0,0)=(-20,0,9)$
$\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB}, \overset{\rightarrow}{AC} )=\arccos \, \dfrac{\langle (-20,15,0),(-20,0,9) \rangle}{\left\|(-20,15,0)\right\|\cdot \left\|(-20,0,9)\right\|}=\arccos \, \dfrac{400}{25\,|\sqrt{481}|}\approx 43,2^{\circ}$
Nota: Con la notación $\langle .\,,\,.\rangle$ se designa el producto escalar de dos vectores
c) Un prisma tal como el formado por los vectores $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$, $\overset{\rightarrow}{OC}$ se descompone en $6$ tetraedros iguales, luego
$$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\,V_{\text{prisma}}=\dfrac{1}{6}\,\left|\left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right] \right| \quad \quad [1]$$
Nota: La notación $[.,.,.]$ designa el producto mixto de tres vectores
Calculemos el producto mixto:
$$\displaystyle \left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right]=\begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=2700$$
Así pues, de [1], $$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\cdot |2700|=\dfrac{2700}{6}=450\,\text{unidades de volumen}$$
$\square$
a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan $4$ unidades del mismo
b) Las coordenadas de los puntos $A,B$ y $C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes Ox, Oy y Oz
c) El valor del ángulo formado entre los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos $A,B$ y $C$
SOLUCIÓN.
a) Todo plano $\sigma$ paralelo a $\pi$ que diste de él $4$ unidades deberá tener los mismos coeficientes $a,b$ y $c$ en su ecuación general que los del plano $\pi$, pues ambos tienen el mismo vector característico $\vec{n}_{\sigma}=\vec{n}_{\pi}=(a,b,c)=(9,12,20)$, por lo que su ecuación general $\sigma\equiv ax+by+cz+d_{\sigma}=0$ es $$\sigma\equiv 9x+12y+20z+d_{\sigma}=0$$
Sabemos que $4=\text{dist}(\sigma,\pi)=\text{dist}(P_{\sigma},\pi)$, y escogiendo $P_{\sigma}=(0,0,-d_{\sigma}/20)$, podemos escribir
$$4=\dfrac{\left|9\cdot 0+12\cdot 0+20\cdot (-d_{\sigma}/20) -180 \right|}{\left|\sqrt{9^2+12^2+20^2}\right|}$$ y por tanto $$\dfrac{\left|-d_{\sigma}-180\right|}{25}=4$$ luego $$\left|-d_{\sigma}-180\right|=100 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-d_{\sigma}-180=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{1}}=-280 \\ -(-d_{\sigma}-180)=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{2}}=-80 \\ \end{matrix}\right.$$
Por lo que los dos planos pedidos son: $$\begin{matrix}\sigma_1\equiv 9x+12y+20z-280=0\\ \text{y} \\ \sigma_2\equiv 9x+12y+20z-80=0\end{matrix}$$
b.i)
El eje Ox viene dado por la intersección de los siguientes planos $\left\{\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.$; el eje Oy por $\left\{\begin{matrix}x=0\\z=0\end{matrix}\right.$, y el eje Oz por $\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$
Así pues
$$A=\pi \cap Ox \equiv \left\{\begin{matrix}97x+12y+20z -180 =0\\ y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(180/9,0,0)=(20,0,0)$$
$$B=\pi \cap Oy \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(0,180/12,0)=(0,15,0)$$
$$C=\pi \cap Oz \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ y=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; C=(0,0,180/20)=(0,0,9)$$
b.ii)
$\overset{\rightarrow}{AB}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,15,0)-(20,0,0)=(-20,15,0)$
$\overset{\rightarrow}{AC}=\overset{\rightarrow}{OC}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,0,9)-(20,0,0)=(-20,0,9)$
$\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB}, \overset{\rightarrow}{AC} )=\arccos \, \dfrac{\langle (-20,15,0),(-20,0,9) \rangle}{\left\|(-20,15,0)\right\|\cdot \left\|(-20,0,9)\right\|}=\arccos \, \dfrac{400}{25\,|\sqrt{481}|}\approx 43,2^{\circ}$
Nota: Con la notación $\langle .\,,\,.\rangle$ se designa el producto escalar de dos vectores
c) Un prisma tal como el formado por los vectores $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$, $\overset{\rightarrow}{OC}$ se descompone en $6$ tetraedros iguales, luego
$$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\,V_{\text{prisma}}=\dfrac{1}{6}\,\left|\left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right] \right| \quad \quad [1]$$
Nota: La notación $[.,.,.]$ designa el producto mixto de tres vectores
Calculemos el producto mixto:
$$\displaystyle \left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right]=\begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=2700$$
Así pues, de [1], $$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\cdot |2700|=\dfrac{2700}{6}=450\,\text{unidades de volumen}$$
$\square$
Desarrollos en series de potencias de Mac Laurin que son útiles en muchas situaciones
Recordemos ( ver el artículo en el que ya se ha hablado del teorema de Taylor ) que una consecuencia de dicho teorema es el desarrollo en series de potencias de funciones alrededor de $x=0$, siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
i) $f(x)$ está definida en $x=0$ y en un entorno de $x=0$, $E_{0}$ lo suficiente próximo a dicho punto
ii) $f(x)$ es continua en $E_0$
iii) $f(x)$ puede derivarse $n+1$ veces en $E_0$
En estas condiciones, existe pues un punto de $x\in E_0$ para el cual $$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,x^n+E_n(x)\quad \quad [1]$$ donde $E_n(x)$ es el resto ( término de error ) de dicho desarrollo, para el cual hemos visto que puede tomarse el llamado resto de Lagrange: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$ y, también, el llamado resto de Cauchy: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{(x-\theta)^{n}\,x}{n!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$
Algunos desarrollos en serie de potencias de las funciones que aparecen con mucha frecuencia son los siguientes ( compruébese como ejercicio ):
$\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{x^i}{i!}+E_n(x) \quad \text{para} \quad -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \ln(x+1)=\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(-1)^{i+1}\,x^i}{i}+E_n(x) \quad \text{para} \quad |x| \prec 1$
$\displaystyle \sin\,x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \cos\,x=x-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \arctan\,x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -1 \le x \le 1$
...
Podemos así calcular el valor aproximado de una función en un punto $x=c$ de la misma sin más que sustituir $x$ por $c$ en [1] $$f(c)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,c^n+E_n(c)$$
$\square$
i) $f(x)$ está definida en $x=0$ y en un entorno de $x=0$, $E_{0}$ lo suficiente próximo a dicho punto
ii) $f(x)$ es continua en $E_0$
iii) $f(x)$ puede derivarse $n+1$ veces en $E_0$
En estas condiciones, existe pues un punto de $x\in E_0$ para el cual $$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,x^n+E_n(x)\quad \quad [1]$$ donde $E_n(x)$ es el resto ( término de error ) de dicho desarrollo, para el cual hemos visto que puede tomarse el llamado resto de Lagrange: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$ y, también, el llamado resto de Cauchy: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{(x-\theta)^{n}\,x}{n!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$
Algunos desarrollos en serie de potencias de las funciones que aparecen con mucha frecuencia son los siguientes ( compruébese como ejercicio ):
$\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{x^i}{i!}+E_n(x) \quad \text{para} \quad -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \ln(x+1)=\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(-1)^{i+1}\,x^i}{i}+E_n(x) \quad \text{para} \quad |x| \prec 1$
$\displaystyle \sin\,x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \cos\,x=x-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$
$\displaystyle \arctan\,x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -1 \le x \le 1$
...
Podemos así calcular el valor aproximado de una función en un punto $x=c$ de la misma sin más que sustituir $x$ por $c$ en [1] $$f(c)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,c^n+E_n(c)$$
$\square$
lunes, 10 de junio de 2019
Un ejercicio de análisis de funciones
ENUNCIADO. Dos móviles, $A$ y $B$, se encuentran en las siguientes posiciones iniciales $(0,0)$ y $(250,0)$, respectivamente, siendo $1\,\text{km}$ la distancia entre el origen de coordenadas $(0,0)$ a los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$. El móvil $A$ se desplaza sobre el eje Oy a una velocidad constante de $30\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$ kilómetros por hora, desde su posición inicial hasta la posición $(0,375/2)$; y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje Oy, desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas, a una velocidad constante de $40\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$. Se pide:
a) La distancia $f(t)$ que separa a los dos móviles en todo instante de tiempo ($t$, en horas ) desde que comenzaron a desplazarse hasta que llegan a las respectivas posiciones finales.
b) El tiempo $T$ que tardan los móviles en desplazarse desde sus posiciones iniciales hasta sus posiciones finales, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función distancia $f(t)$ entre los mismos en su recorrido hasta sus posiciones finales.
c) Los valores de $t$ para los que la distancia $f(t)$ entre los dos móviles es máxima y mínima durante sus desplazamientos, así como los valores de máximo/mínimo.
SOLUCIÓN.
a) El movimiento del móvil $A$ a lo largo del eje Oy viene dado por la ecuación $$y(t)=30\,t$$ y el del móvil $B$ ( a lo largo del eje Ox ) por $$x(t)=-40\,t+250$$ luego la distancia euclídea entre uno y otro en todo instante de tiempo es $$f(t)=\left|\sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}\right|$$ esto es $$f(t)=\left|\sqrt{(30\,t)^2+(-40\,t+250)^2}\right|=50\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|$$
b) El tiempo que tardan sendos móviles a llegar a sus posiciones finales se calcula a partir de sus ecuaciones respectivas.
Para el móvil $B$, si $y(t)=30\,t$, entonces para $y_{\text{final}}:=375/2$, $T=375/(2\cdot 30)=25/4\,\text{h}$; y, lo mismo para el móvil $A$, como $x(t)=-40\,t+250$, entonces si $x_{\text{final}}:=0$, se tiene que $0=-40\cdot T+250$, con lo cual $T=250/40=25/4\,\text{h}$. Así pues el dominio de definición de la función $f(t)$ es $$\text{Dom}\,f(t)=[0,25/4]\,\text{h}$$
Para determinar los extremos de crecimiento/decrecimiento de $f(t)$, calcularemos primero los extremos relativos de dicha función, cuya condición necesaria es $$f'(t)=0$$ luego $$50\cdot \dfrac{2t-8}{2\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|}=0 \Leftrightarrow 2t-8=0 \Rightarrow t^*=4\,\text{h}$$
Veamos la naturaleza del único extremo relativo que hemos encontrado. Para ello utilizaremos el criterio del cambio de signo de la primera derivada para las abscisas próximas a la de dicho extremo relativo, de izquierda a derecha. Vemos que $f'(3\prec 4) \prec 0$ y $f'(5\succ 4) \succ 0$, luego podemos afirmar que $t^*=4\,\text{h}$ es la abscisa de un mínimo relativo (local). De lo cual se desprende que los intervalos de crecimiento decrecimiento son: $I^{\uparrow}=[4,25/4]$ y $I^{\downarrow}=[0,4]$ ( en horas ).
c)
Por lo que acabamos de decir, la función distancia $f(t)$ presenta un mínimo relativo ( que es, también, el mínimo absoluto ) en $t=4\,\text{h}$ y el valor de dicho mínimo (sustituyendo $t$ por el valor $4$ en la función) es $f(4)=150\,\text{km}$
Por otra parte $f(0)=250\,\text{km}$ y $f(25/4)=375/2=187,5\prec 250\,\text{km}$, luego el máximo absoluto de la función corresponde a $t=0\,\text{h}$ y su valor es igual a $250\,\text{km}$
$\square$
a) La distancia $f(t)$ que separa a los dos móviles en todo instante de tiempo ($t$, en horas ) desde que comenzaron a desplazarse hasta que llegan a las respectivas posiciones finales.
b) El tiempo $T$ que tardan los móviles en desplazarse desde sus posiciones iniciales hasta sus posiciones finales, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función distancia $f(t)$ entre los mismos en su recorrido hasta sus posiciones finales.
c) Los valores de $t$ para los que la distancia $f(t)$ entre los dos móviles es máxima y mínima durante sus desplazamientos, así como los valores de máximo/mínimo.
SOLUCIÓN.
a) El movimiento del móvil $A$ a lo largo del eje Oy viene dado por la ecuación $$y(t)=30\,t$$ y el del móvil $B$ ( a lo largo del eje Ox ) por $$x(t)=-40\,t+250$$ luego la distancia euclídea entre uno y otro en todo instante de tiempo es $$f(t)=\left|\sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}\right|$$ esto es $$f(t)=\left|\sqrt{(30\,t)^2+(-40\,t+250)^2}\right|=50\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|$$
b) El tiempo que tardan sendos móviles a llegar a sus posiciones finales se calcula a partir de sus ecuaciones respectivas.
Para el móvil $B$, si $y(t)=30\,t$, entonces para $y_{\text{final}}:=375/2$, $T=375/(2\cdot 30)=25/4\,\text{h}$; y, lo mismo para el móvil $A$, como $x(t)=-40\,t+250$, entonces si $x_{\text{final}}:=0$, se tiene que $0=-40\cdot T+250$, con lo cual $T=250/40=25/4\,\text{h}$. Así pues el dominio de definición de la función $f(t)$ es $$\text{Dom}\,f(t)=[0,25/4]\,\text{h}$$
Para determinar los extremos de crecimiento/decrecimiento de $f(t)$, calcularemos primero los extremos relativos de dicha función, cuya condición necesaria es $$f'(t)=0$$ luego $$50\cdot \dfrac{2t-8}{2\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|}=0 \Leftrightarrow 2t-8=0 \Rightarrow t^*=4\,\text{h}$$
Veamos la naturaleza del único extremo relativo que hemos encontrado. Para ello utilizaremos el criterio del cambio de signo de la primera derivada para las abscisas próximas a la de dicho extremo relativo, de izquierda a derecha. Vemos que $f'(3\prec 4) \prec 0$ y $f'(5\succ 4) \succ 0$, luego podemos afirmar que $t^*=4\,\text{h}$ es la abscisa de un mínimo relativo (local). De lo cual se desprende que los intervalos de crecimiento decrecimiento son: $I^{\uparrow}=[4,25/4]$ y $I^{\downarrow}=[0,4]$ ( en horas ).
c)
Por lo que acabamos de decir, la función distancia $f(t)$ presenta un mínimo relativo ( que es, también, el mínimo absoluto ) en $t=4\,\text{h}$ y el valor de dicho mínimo (sustituyendo $t$ por el valor $4$ en la función) es $f(4)=150\,\text{km}$
Por otra parte $f(0)=250\,\text{km}$ y $f(25/4)=375/2=187,5\prec 250\,\text{km}$, luego el máximo absoluto de la función corresponde a $t=0\,\text{h}$ y su valor es igual a $250\,\text{km}$
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domingo, 9 de junio de 2019
Un ejercicio de geometría euclídea
ENUNCIADO. Sean las rectas de $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{matrix}\right.$ y $s\equiv x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$. Se pide:
a) La ecuación del plano $\sigma$ que contiene a $r$ y a $s$
b) La ecuación de la recta $t$ que pasa por $P=(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$
c) El valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi\equiv x-2y+az=b$
SOLUCIÓN.
a) Extraigamos información de las ecuaciones de las rectas dadas:
Interpretando la ecuación de $s$, que viene dada en forma continua, $\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z-2}{2}$, vemos que un vector en la dirección de $s$ es $\vec{u}_s=(1,1,2)$ y un punto de dicha recta es $A_{s}=(0,-1,2)$
La recta $r$, que viene dada por sus ecuaciones cartesians, puede expresarse en forma paramétrica: $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ y=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ z=\lambda \end{matrix}\right.$$ de lo cual deducimos que un punto de $r$ es $A_r=(-3/2,3/2,0)$, y un vector en la dirección de $r$ es $(1/2,1/2,1) \propto \vec{u}_r=(1,1,2)=\vec{u}_s$, por lo que $r\parallel s$ ( $r$ y $s$ son paralelas).
Observemos que
Un vector en la dirección perpendicular de sendas rectas (paralelas ), vendrá dado por $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}} \times \vec{u}_s$ ( que es, por tanto, un vector característico del plano pedido $\sigma$, y al que denotaremos por $\vec{n}_{\sigma}$ ), donde $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}}=(0-(-3/2),-1-3/2,2-0)=(3/2,-5/2,2)$
Así pues $\vec{n}_{\sigma}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&2 \\ 3/2&-5/2&2\end{vmatrix}=7\,\vec{i}+\vec{j}-4\,\vec{k}=(7,1,-4)$, siendo $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ a la cual vienen referidas las coordenadas de los puntos y vectores que estamos manejando.
Es sabido que la ecuación general de $\sigma$ viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, donde $A=7$, $B=1$ y $C=-4$; por consiguiente, $\sigma\equiv 7x+y-4z+D=0$. Para determinar el valor de $D$ tendremos en cuenta que $A_s=(0,-1,2) \in s \subset \sigma$, las coordenadas de dicho punto deberán satisfacer la ecuación general del plano $\sigma$: $$7\cdot 0+(-1)-4\cdot 2+ D=0 \Rightarrow D=9$$ En consecuencia,la ecuación del plano pedido ( que contiene a $r$ y a $s$ ) es $$\sigma\equiv 7x+y-4z+9=0$$
b) Procederemos de la siguiente manera: primero determinaremos el plano que es perpendicular a $r$ y que contiene a $P$; a continuación, determinaremos el punto de intersección $I$ de dicho plano con la recta $r$, y con ello tendremos un vector $\overset{\rightarrow}{IP}$ en la dirección de la recta pedida $t$ ( la que contiene a $P$ y corta perpendicularmente a $r$ ), con lo cual ya podremos escribir la ecuación de $t$, puesto que conoceremos un vector de la misma y un punto que pasa por dicha recta.
Sea $\alpha$ el plano que contiene a $P=(0,-1,2)$ y es perpendicular a $r$. Un vector característico de $\alpha$ es por tanto $\vec{u}_r=(1,1,2)$, por lo que podemos escribir la ecuación general de $\alpha$ de la forma $$\alpha\equiv x+y+2z+D_{\alpha}=0$$ Para determinar el coeficiente $D_{\alpha}$ tendremos en cuenta que las coordenadas de $P$ han de satisfacer dicha ecuación, puesto que $P \in \alpha$, con lo cual $$-1+2\cdot 2+D_{\alpha}=0 \Rightarrow D=-3$$ En consecuencia, $$\alpha\equiv x+y+2z-3=0$$
Denotemos ahora por $I$ el punto de intersección de $\alpha$ y $r$, entonces $$I=\alpha \cap r \equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z-3=0\\ x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_I=-1\\ y_I=2\\z_I=1\end{matrix}\right.$$
Un vector en la dirección de la recta pedida es pues $\vec{t}:=\overset{\rightarrow}{IP}=(-1-0,2-(-1),1-2)=(-1,3,-1)$, y, por consiguiente la ecuación vectorial de la recta $t$ ( que contiene a $P$ y corta a $r$ perpendicularmente es ) $$t\equiv (x,y,z)=(0,-1,2)+\lambda\,(-1,3,-1)$$
c) De la ecuación en forma general del plano $\pi \equiv x-2y+az=b$ podemos escribir un vector característico de dicho plano: $\vec{n}_{\pi}=(1,-2,a)$.
Para que $s\equiv x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$ ( con vector director $\vec{u}_r=(1,1,2)$ ) esté en el plano $\pi$ deberá cumplirse que $\vec{n}_{\pi} \perp \vec{u}_r$ y por tanto que el producto escalar de dichos vectores sea nulo $$\langle (1,-2,a),(1,1,2)\rangle = 0 \Leftrightarrow 1\cdot 1 +(-2)\cdot 1 +2a=0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$$
Por otra parte debemos tener en cuenta que el punto $A_s=(0,-1,2)$ está en el plano $\pi$ ya que es un punto de la recta $s$ ( que está contenida en dicho plano ). Por consiguiente, sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de $\pi$, esto es: $$0-2\cdot (-1)+\dfrac{1}{2}\cdot 2 = b \Rightarrow b=3$$
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a) La ecuación del plano $\sigma$ que contiene a $r$ y a $s$
b) La ecuación de la recta $t$ que pasa por $P=(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$
c) El valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi\equiv x-2y+az=b$
SOLUCIÓN.
a) Extraigamos información de las ecuaciones de las rectas dadas:
Interpretando la ecuación de $s$, que viene dada en forma continua, $\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z-2}{2}$, vemos que un vector en la dirección de $s$ es $\vec{u}_s=(1,1,2)$ y un punto de dicha recta es $A_{s}=(0,-1,2)$
La recta $r$, que viene dada por sus ecuaciones cartesians, puede expresarse en forma paramétrica: $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ y=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ z=\lambda \end{matrix}\right.$$ de lo cual deducimos que un punto de $r$ es $A_r=(-3/2,3/2,0)$, y un vector en la dirección de $r$ es $(1/2,1/2,1) \propto \vec{u}_r=(1,1,2)=\vec{u}_s$, por lo que $r\parallel s$ ( $r$ y $s$ son paralelas).
Observemos que
Un vector en la dirección perpendicular de sendas rectas (paralelas ), vendrá dado por $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}} \times \vec{u}_s$ ( que es, por tanto, un vector característico del plano pedido $\sigma$, y al que denotaremos por $\vec{n}_{\sigma}$ ), donde $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}}=(0-(-3/2),-1-3/2,2-0)=(3/2,-5/2,2)$
Así pues $\vec{n}_{\sigma}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&2 \\ 3/2&-5/2&2\end{vmatrix}=7\,\vec{i}+\vec{j}-4\,\vec{k}=(7,1,-4)$, siendo $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ a la cual vienen referidas las coordenadas de los puntos y vectores que estamos manejando.
Es sabido que la ecuación general de $\sigma$ viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, donde $A=7$, $B=1$ y $C=-4$; por consiguiente, $\sigma\equiv 7x+y-4z+D=0$. Para determinar el valor de $D$ tendremos en cuenta que $A_s=(0,-1,2) \in s \subset \sigma$, las coordenadas de dicho punto deberán satisfacer la ecuación general del plano $\sigma$: $$7\cdot 0+(-1)-4\cdot 2+ D=0 \Rightarrow D=9$$ En consecuencia,la ecuación del plano pedido ( que contiene a $r$ y a $s$ ) es $$\sigma\equiv 7x+y-4z+9=0$$
b) Procederemos de la siguiente manera: primero determinaremos el plano que es perpendicular a $r$ y que contiene a $P$; a continuación, determinaremos el punto de intersección $I$ de dicho plano con la recta $r$, y con ello tendremos un vector $\overset{\rightarrow}{IP}$ en la dirección de la recta pedida $t$ ( la que contiene a $P$ y corta perpendicularmente a $r$ ), con lo cual ya podremos escribir la ecuación de $t$, puesto que conoceremos un vector de la misma y un punto que pasa por dicha recta.
Sea $\alpha$ el plano que contiene a $P=(0,-1,2)$ y es perpendicular a $r$. Un vector característico de $\alpha$ es por tanto $\vec{u}_r=(1,1,2)$, por lo que podemos escribir la ecuación general de $\alpha$ de la forma $$\alpha\equiv x+y+2z+D_{\alpha}=0$$ Para determinar el coeficiente $D_{\alpha}$ tendremos en cuenta que las coordenadas de $P$ han de satisfacer dicha ecuación, puesto que $P \in \alpha$, con lo cual $$-1+2\cdot 2+D_{\alpha}=0 \Rightarrow D=-3$$ En consecuencia, $$\alpha\equiv x+y+2z-3=0$$
Denotemos ahora por $I$ el punto de intersección de $\alpha$ y $r$, entonces $$I=\alpha \cap r \equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z-3=0\\ x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_I=-1\\ y_I=2\\z_I=1\end{matrix}\right.$$
Un vector en la dirección de la recta pedida es pues $\vec{t}:=\overset{\rightarrow}{IP}=(-1-0,2-(-1),1-2)=(-1,3,-1)$, y, por consiguiente la ecuación vectorial de la recta $t$ ( que contiene a $P$ y corta a $r$ perpendicularmente es ) $$t\equiv (x,y,z)=(0,-1,2)+\lambda\,(-1,3,-1)$$
c) De la ecuación en forma general del plano $\pi \equiv x-2y+az=b$ podemos escribir un vector característico de dicho plano: $\vec{n}_{\pi}=(1,-2,a)$.
Para que $s\equiv x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$ ( con vector director $\vec{u}_r=(1,1,2)$ ) esté en el plano $\pi$ deberá cumplirse que $\vec{n}_{\pi} \perp \vec{u}_r$ y por tanto que el producto escalar de dichos vectores sea nulo $$\langle (1,-2,a),(1,1,2)\rangle = 0 \Leftrightarrow 1\cdot 1 +(-2)\cdot 1 +2a=0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$$
Por otra parte debemos tener en cuenta que el punto $A_s=(0,-1,2)$ está en el plano $\pi$ ya que es un punto de la recta $s$ ( que está contenida en dicho plano ). Por consiguiente, sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de $\pi$, esto es: $$0-2\cdot (-1)+\dfrac{1}{2}\cdot 2 = b \Rightarrow b=3$$
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Un ejercicio de álgebral lineal
ENUNCIADO. Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$ y una matriz cuadrada $B$, de orden $3$, tal que $B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro $a$, y, de ser posible, calcúlese el valor de $\text{det}(2\,A^{-1})$ para $a:=1$
b) Resuélvase la ecuación $A\,\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ para $a:=-1$
c) Compruébese que $B$ es inversible y calcúlense determínense los coeficientes $m$ y $n$ tales que $B^{-1}=m\,B+n\,I$
SOLUCIÓN.
a.i) Reduciendo por Gauss, obtendremos matrices equivalentes en rango:
$\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix} \;\begin{matrix}\\
2\,f_1+f_2\, \rightarrow f_2\\ 3f_1+f_3 \,\rightarrow f_3 \end{matrix}\; \sim\; \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2a+2\\0&a-1&4a\end{pmatrix} \sim$
$\begin{matrix}\\ \\ -(a-1)f_2+(a+1)f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2(a+1)\\0&0&2(a+1)^2\end{pmatrix} \sim$
$\begin{matrix}\\ f_2/(a+1)\rightarrow f_2 \\ f_3/(a+1)\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&2\\0&0&2(a+1)\end{pmatrix}$
de donde es claro que:
I) Si $a=-1$, $\text{rango}(A)=2$
II) Si $a\neq-1$, $\text{rango}(A)=3$
a.ii) Del caso (II), deducimos que siendo $a:=1\neq -1$, $\text{rango}(A)=3$ que es igual al orden de la matriz, luego ésta es regular y por tanto inversible ( tiene asociada matriz inversa, que es única ).
Por otra parte, es sabido que $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$. En efecto, el determinante de dos matrices regulares es igual al producto de sus determinantes; en particular, como $A\,A^{-1}=I$, tenemos que $\text{det}(A)\cdot \text{det}(A^{-1})=\text{det}(I)$ y como $\text{det}(I)=1$, despejando $\text{det}(A^{-1})$ se obtiene $$\text{det}(A^{-1})=1/\text{det}(A)$$
Entonces, $$\text{det}(2\,A^{-1})=2\cdot\text{det}(A^{-1})=2\cdot \dfrac{1}{\text{det}(A)}=2\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$$
puesto que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&0&1\\ -2&2&2\\ -3&0&1\end{vmatrix}\overset{\text{d. de Laplace por la 2º col.}}{=}2\cdot (-1)^{2+2}\,\begin{vmatrix}1&1 \\ -3&1\end{vmatrix}=8$
b)
Como para $a=-1$ estamos en el caso (I) del primer apartado, sabemos que $\text{rango}(A)=2$. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada con los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales (reduciendo por Gauss):
$\text{rango}(A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ -2&0&2&2\\-3&-2&-1&0\end{array}\right) \begin{matrix}\\ 2f_1+f_2\,\rightarrow f_2 \\ 3\,f_1+f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&0&0&0\\0&-2&-4&-3\end{array}\right)\sim$
$\begin{matrix}\\ f_2 \leftrightarrow f_3 \\ \end{matrix} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&-2&-4&3\\0&0&0&0\end{array}\right)=2$
Al tener ambos rangos el mismo valor, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, y según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible; por otra parte al ser dicho rango $r=2\prec n=3$ ( donde $n$ es el número de ecuaciones del sistema ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
Al tener ya reducida por Gauss la matriz ampliada, podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente: $$\left\{\begin{matrix}x-y=-1\\-2y-4z=3\end{matrix}\right.\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\y+2z=3/2\end{matrix}\right.$$ Designando por $\lambda$ a la variable secundaria, para la cual elegiremos $z$, obtenemos la solución, que está formada por infinitas ternas: $$\{(x,y,z)=(1/2-2\,\lambda,3/2-2\,\lambda,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
que también podemos expresar de la forma
$$\{(x,y,z)=(1-4\,\lambda,3-4\,\lambda,2\,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
c)
$B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
$B\,B=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
$B^{-1}\,B\,B=B^{-1}\,(\dfrac{1}{3}\,I-2\,B)$
$B^{-1}\,B\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
$(B^{-1}\,B)\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
$I\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I$
$B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I \Rightarrow \dfrac{1}{3}\,B^{-1}=B+2\,I \Rightarrow B^{-1}=3\,(B+2\,I)$
Por otra parte, si $B^{-1}=m\,B+n\,I$, entonces $$B^{-1}=m\,B+n\,I = 3\,(B+2\,I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,B=m\,B \Rightarrow m=3 \\ 6\,I=n\,I \Rightarrow n=6\end{matrix}\right.$$
$\square$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro $a$, y, de ser posible, calcúlese el valor de $\text{det}(2\,A^{-1})$ para $a:=1$
b) Resuélvase la ecuación $A\,\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ para $a:=-1$
c) Compruébese que $B$ es inversible y calcúlense determínense los coeficientes $m$ y $n$ tales que $B^{-1}=m\,B+n\,I$
SOLUCIÓN.
a.i) Reduciendo por Gauss, obtendremos matrices equivalentes en rango:
$\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix} \;\begin{matrix}\\
2\,f_1+f_2\, \rightarrow f_2\\ 3f_1+f_3 \,\rightarrow f_3 \end{matrix}\; \sim\; \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2a+2\\0&a-1&4a\end{pmatrix} \sim$
$\begin{matrix}\\ \\ -(a-1)f_2+(a+1)f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2(a+1)\\0&0&2(a+1)^2\end{pmatrix} \sim$
$\begin{matrix}\\ f_2/(a+1)\rightarrow f_2 \\ f_3/(a+1)\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&2\\0&0&2(a+1)\end{pmatrix}$
de donde es claro que:
I) Si $a=-1$, $\text{rango}(A)=2$
II) Si $a\neq-1$, $\text{rango}(A)=3$
a.ii) Del caso (II), deducimos que siendo $a:=1\neq -1$, $\text{rango}(A)=3$ que es igual al orden de la matriz, luego ésta es regular y por tanto inversible ( tiene asociada matriz inversa, que es única ).
Por otra parte, es sabido que $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$. En efecto, el determinante de dos matrices regulares es igual al producto de sus determinantes; en particular, como $A\,A^{-1}=I$, tenemos que $\text{det}(A)\cdot \text{det}(A^{-1})=\text{det}(I)$ y como $\text{det}(I)=1$, despejando $\text{det}(A^{-1})$ se obtiene $$\text{det}(A^{-1})=1/\text{det}(A)$$
Entonces, $$\text{det}(2\,A^{-1})=2\cdot\text{det}(A^{-1})=2\cdot \dfrac{1}{\text{det}(A)}=2\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$$
puesto que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&0&1\\ -2&2&2\\ -3&0&1\end{vmatrix}\overset{\text{d. de Laplace por la 2º col.}}{=}2\cdot (-1)^{2+2}\,\begin{vmatrix}1&1 \\ -3&1\end{vmatrix}=8$
b)
Como para $a=-1$ estamos en el caso (I) del primer apartado, sabemos que $\text{rango}(A)=2$. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada con los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales (reduciendo por Gauss):
$\text{rango}(A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ -2&0&2&2\\-3&-2&-1&0\end{array}\right) \begin{matrix}\\ 2f_1+f_2\,\rightarrow f_2 \\ 3\,f_1+f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&0&0&0\\0&-2&-4&-3\end{array}\right)\sim$
$\begin{matrix}\\ f_2 \leftrightarrow f_3 \\ \end{matrix} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&-2&-4&3\\0&0&0&0\end{array}\right)=2$
Al tener ambos rangos el mismo valor, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, y según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible; por otra parte al ser dicho rango $r=2\prec n=3$ ( donde $n$ es el número de ecuaciones del sistema ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.
Al tener ya reducida por Gauss la matriz ampliada, podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente: $$\left\{\begin{matrix}x-y=-1\\-2y-4z=3\end{matrix}\right.\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\y+2z=3/2\end{matrix}\right.$$ Designando por $\lambda$ a la variable secundaria, para la cual elegiremos $z$, obtenemos la solución, que está formada por infinitas ternas: $$\{(x,y,z)=(1/2-2\,\lambda,3/2-2\,\lambda,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
que también podemos expresar de la forma
$$\{(x,y,z)=(1-4\,\lambda,3-4\,\lambda,2\,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
c)
$B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
$B\,B=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
$B^{-1}\,B\,B=B^{-1}\,(\dfrac{1}{3}\,I-2\,B)$
$B^{-1}\,B\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
$(B^{-1}\,B)\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
$I\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I$
$B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I \Rightarrow \dfrac{1}{3}\,B^{-1}=B+2\,I \Rightarrow B^{-1}=3\,(B+2\,I)$
Por otra parte, si $B^{-1}=m\,B+n\,I$, entonces $$B^{-1}=m\,B+n\,I = 3\,(B+2\,I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,B=m\,B \Rightarrow m=3 \\ 6\,I=n\,I \Rightarrow n=6\end{matrix}\right.$$
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Un ejercicio de análisis de una función real de una variable real
ENUNCIADO. Analizar la función $f(x)=x\,e^{-x^2}$ y representar su gráfica
SOLUCIÓN.
Dominio de definición:
$(-\infty,+\infty)$
Dominio de continuidad:
$(-\infty,+\infty)$
Dominio de derivabilidad:
$(-\infty,+\infty)$
Raíes de $f$ y ordenada en el origen:
$f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$, luego hay una sola raíz y por tanto la gráfica de la función corta al eje de abscisas en un sólo punto: $O(0,f(0))$, esto es, en el origen de coordenadas $O(0,0)$, puesto que la ordenada en el origen $f(0)=0$
La función $f$ es impar, puesto que $f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^2}=-x\,e^{-x^2}=-f(x)$ ( la gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas )
Extremos relativos:
La condición necesaria de extremo relativo es $f'(x)=0$, es decir $$(1-2x^2)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x^2=1/2 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1/|\sqrt{2}| \\ \\ 1/|\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$
Para ver el tipo de extremo relativo utilizaremos el criterio del signo de la segundo derivada en las abscisas encontradas. Caculando la segunda derivada encontramos $$f''(x)=2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}$$ y encontramos:
$f''(-1/|\sqrt{2}|)\succ 0$, luego hay un mínimo relativo en el punto de abscisa $-1/|\sqrt{2}|$
$f''(1/|\sqrt{2}|)\prec 0$, y por tanto hay un máximo relativo en el punto de abscisa $1/|\sqrt{2}|$
Las ordenadas que corresponden a estas abscisas son $$f(-1/|\sqrt{2}|)=-\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}\; \text{y}\; f(1/|\sqrt{2}|)=\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}$$
Puntos de inflexión:
En un punto de inflexión se tiene que $f''(x)=0$, luego $$2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{-|\sqrt{6}|}{2} \\ \\ 0 \\ \\ \dfrac{|\sqrt{6}|}{2} \end{matrix}\right.$$
y las respectivas ordenadas son: $$f\left(-\dfrac{|\sqrt{6}|}{2}\right)=-\left| \sqrt{ \dfrac{3}{2\,e^3} }\right|\;, f(0)=0\;\text{y}\;f\left(|\dfrac{\sqrt{6}|}{2}\right)=\left|\sqrt{\dfrac{3}{2\,e^3}}\right|$$
Intervalos de crecimiento:
$I^{\uparrow}=(-1/|\sqrt{2}|,1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de decrecimiento:
$I_{1}^{\downarrow}=(-\infty,-1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
$I_{2}^{\downarrow}=(1/|\sqrt{2}|,+\infty) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de concavidad:
$J_{1}=(-\infty, -|\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$
$J_{2}=(0, |\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de convexidad:
$J_{3}=(-|\sqrt{6}|/2,0) \subset \mathbb{R}$
$J_{4}=(|\sqrt{6}|/2,+\infty) \subset \mathbb{R}$
Asíntotas:
No hay asíntotas verticales, pues no existe ningún $a \in \mathbb{R}$ para el cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=\pm\,\infty$
Veamos si hay asíntotas oblicuas: $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$
i) $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,e^{-x^2}=e^{-\infty}=0$
ii) $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-0 \cdot x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$
Así pues, la función $f$ tiene una sóla asíntota, que, en particular, es horizontal: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
Con todos estos elementos podemos representar la gráfica de la función:
$\square$
SOLUCIÓN.
Dominio de definición:
$(-\infty,+\infty)$
Dominio de continuidad:
$(-\infty,+\infty)$
Dominio de derivabilidad:
$(-\infty,+\infty)$
Raíes de $f$ y ordenada en el origen:
$f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$, luego hay una sola raíz y por tanto la gráfica de la función corta al eje de abscisas en un sólo punto: $O(0,f(0))$, esto es, en el origen de coordenadas $O(0,0)$, puesto que la ordenada en el origen $f(0)=0$
La función $f$ es impar, puesto que $f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^2}=-x\,e^{-x^2}=-f(x)$ ( la gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas )
Extremos relativos:
La condición necesaria de extremo relativo es $f'(x)=0$, es decir $$(1-2x^2)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x^2=1/2 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1/|\sqrt{2}| \\ \\ 1/|\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$
Para ver el tipo de extremo relativo utilizaremos el criterio del signo de la segundo derivada en las abscisas encontradas. Caculando la segunda derivada encontramos $$f''(x)=2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}$$ y encontramos:
$f''(-1/|\sqrt{2}|)\succ 0$, luego hay un mínimo relativo en el punto de abscisa $-1/|\sqrt{2}|$
$f''(1/|\sqrt{2}|)\prec 0$, y por tanto hay un máximo relativo en el punto de abscisa $1/|\sqrt{2}|$
Las ordenadas que corresponden a estas abscisas son $$f(-1/|\sqrt{2}|)=-\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}\; \text{y}\; f(1/|\sqrt{2}|)=\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}$$
Puntos de inflexión:
En un punto de inflexión se tiene que $f''(x)=0$, luego $$2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{-|\sqrt{6}|}{2} \\ \\ 0 \\ \\ \dfrac{|\sqrt{6}|}{2} \end{matrix}\right.$$
y las respectivas ordenadas son: $$f\left(-\dfrac{|\sqrt{6}|}{2}\right)=-\left| \sqrt{ \dfrac{3}{2\,e^3} }\right|\;, f(0)=0\;\text{y}\;f\left(|\dfrac{\sqrt{6}|}{2}\right)=\left|\sqrt{\dfrac{3}{2\,e^3}}\right|$$
Intervalos de crecimiento:
$I^{\uparrow}=(-1/|\sqrt{2}|,1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de decrecimiento:
$I_{1}^{\downarrow}=(-\infty,-1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
$I_{2}^{\downarrow}=(1/|\sqrt{2}|,+\infty) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de concavidad:
$J_{1}=(-\infty, -|\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$
$J_{2}=(0, |\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de convexidad:
$J_{3}=(-|\sqrt{6}|/2,0) \subset \mathbb{R}$
$J_{4}=(|\sqrt{6}|/2,+\infty) \subset \mathbb{R}$
Asíntotas:
No hay asíntotas verticales, pues no existe ningún $a \in \mathbb{R}$ para el cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=\pm\,\infty$
Veamos si hay asíntotas oblicuas: $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$
i) $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,e^{-x^2}=e^{-\infty}=0$
ii) $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-0 \cdot x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$
Así pues, la función $f$ tiene una sóla asíntota, que, en particular, es horizontal: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$
Con todos estos elementos podemos representar la gráfica de la función:
$\square$
Un ejercicio de cálculo de integrales indefinidas ( cálculo de primitivas )
ENUNCIADO. Calcúlense las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx$
b) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx$
SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx=$
$=\displaystyle \int\,-\dfrac{1}{2}\,d(e^{-x^2})\,dx$, habida cuenta de que $\left( e^{-x^2} \right)'=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-2x\,e^{-x^2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,e^{-x^2}+C$
b)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx=$ ( Inegrando por partes: $u=x \Rightarrow dx=du$, $e^{-x}\,dx=dv \rightarrow v=-e^{-x} \rightarrow \int\,udv=uv -\int\,vdu$ )
$=\displaystyle=-x\,e^{-x}-\int\,(-e^{-x})\,dx$
$=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C$
$=-e^{-x}\,(x+1)+C$
$\square$
a) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx$
b) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx$
SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx=$
$=\displaystyle \int\,-\dfrac{1}{2}\,d(e^{-x^2})\,dx$, habida cuenta de que $\left( e^{-x^2} \right)'=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-2x\,e^{-x^2}$
$=-\dfrac{1}{2}\,e^{-x^2}+C$
b)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx=$ ( Inegrando por partes: $u=x \Rightarrow dx=du$, $e^{-x}\,dx=dv \rightarrow v=-e^{-x} \rightarrow \int\,udv=uv -\int\,vdu$ )
$=\displaystyle=-x\,e^{-x}-\int\,(-e^{-x})\,dx$
$=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C$
$=-e^{-x}\,(x+1)+C$
$\square$
viernes, 7 de junio de 2019
Un ejercicio acerca del teorema de Rolle
ENUNCIADO. Se considera la función $$g(x)=x\,e^{-x^2}+a\,x$$ donde $a$ es un parámetro real. Calcúlense los valores que puede tomar $a$ para que pueda aplicarse el teorema de Rolle en el intervalo de la variable independiente $[0,1]$
SOLUCIÓN.
Teorema de Rolle. Sea $g(x)$ una función real de una variable real, continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. En estas condiciones, existe al menos un valor de $x$ entre $a$ y $b$ en el cual se anula la primera derivada de $g(x)$.
En el caso concreto que nos ocupa, la función derivada de $g(x)$ es $g'(x)=e^{-x^2}\,(1-2x^2)+a$. Al anularse dicha derivada (tesis), obtenemos $$a=(2\,x^2-1)\,e^{-x^2}$$ de manera que se tiene que en los extremos del intervalo señalado:
i) Para $x:=0$, $a=(2\cdot 0-1)\cdot e^{0}=-1$
y
ii) Para $x:=1$, $a=(2\cdot 1^2-1)\cdot e^{-1^2}=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
luego el conjunto de valores pedidos de $a$ son tales que $-1 \prec a \prec \dfrac{1}{e}$
$\square$
SOLUCIÓN.
Teorema de Rolle. Sea $g(x)$ una función real de una variable real, continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. En estas condiciones, existe al menos un valor de $x$ entre $a$ y $b$ en el cual se anula la primera derivada de $g(x)$.
En el caso concreto que nos ocupa, la función derivada de $g(x)$ es $g'(x)=e^{-x^2}\,(1-2x^2)+a$. Al anularse dicha derivada (tesis), obtenemos $$a=(2\,x^2-1)\,e^{-x^2}$$ de manera que se tiene que en los extremos del intervalo señalado:
i) Para $x:=0$, $a=(2\cdot 0-1)\cdot e^{0}=-1$
y
ii) Para $x:=1$, $a=(2\cdot 1^2-1)\cdot e^{-1^2}=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
luego el conjunto de valores pedidos de $a$ son tales que $-1 \prec a \prec \dfrac{1}{e}$
$\square$
martes, 4 de junio de 2019
Integración numérica por el método de Simpson
En el artículo anterior hablaba del método de los trapecios para integrar de forma numérica ( aproximada ). En este artículo voy a hablaros del método de Simpson, consistente en interpolar un segmento de parábola en cada terna de puntos conocidos de la función integrando.
Con dicho método podemos aumentar la precisión de los datos obtenidos con respecto al método de los trapecios, pues en principio se ajusta mejor un segmento de parábola a el segmento de curva de la función a integrar que un segmento rectilíneo.
Recordemos que el objetivo de la integración numérica consiste en calcular $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$$ Supondremos que la función del integrando $f(x)$ es positiva en todo el dominio de integración.
Para empezar, sustituiremos el arco de curva asociada a la función $f(x)$ entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ por un segmento de parábola que pase por los puntos de abscisas $a$, $b$ y $m=\dfrac{a+b}{2}$ ( la abscisa del punto medio del intervalo $[a,b]$. Denotaremos por $\Phi$ a la función cuadrática asociada a dicho segmento de parábola; por consiguiente, ésta ha de ser de la forma $$\Phi(x)=Ax^2+Bx+C$$
Y, por consiguiente, $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$ que es más fácil intengrar que la función pedida.
Démonos cuenta de que hay que resolver un problema de interpolación cuadrática; beberemos pues determinar el valor de los coeficientes $A$, $B$ y $C$, imponiendo que los puntos $(a,f(a))$, $(b,f(b)$ y $(m, f(m)$ estén sobre la parábola dada por $\Phi(x)$
Ejemplo. Apliquemos el método de Simpson al cálculo de la integral
$$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx$$
Tal como hemos dicho, nos proponemos calcular una función polinómica de segundo grado $\Phi=Ax^2+Bx+C$, cuya gráfica pase por los puntos de abscisas $1$, $2$ y $\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$ para realizar la aproximación $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$
Calculemos pues los coeficientes del polinomio interpolador:
Como $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{1}=1^2\cdot A+1\cdot B+C$$
Lo mismo con el punto $B(2,\sqrt{2})$: tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{2}=2^2\cdot A+2\cdot B+C$$
Al igual que $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{3/2}=(3/2)^2\cdot A+(3/2)\cdot B+C$$
Así que, resolviendo el sistema de ecuaciones, podremos conocer el valor de $A$, $B$ y $C$:
$$\left\{\begin{matrix}A&+&B&+&C&=&1\\ 4A&+&2B&+&C&=&\sqrt{2} \\ \dfrac{9}{4}\,A&+&\dfrac{3}{2}\,B&+&C&=&\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}A&&&&&\approx &-0,0706\\ &&B&&&\approx & 0,6259\\ &&&&C&\approx &0,4447\end{matrix}\right. $$
Nota. Otra forma de calcular $\Phi(x)$ pasa por utilizar el poliomio interpolador de Lagrange o el de Newton, de los cuales ya he hablado en otros artículos de este mismo blog.
Así, podemos escribir $$\Phi(x) = -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447$$
Por consiguiente,
$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{1}^{2}\,( -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447 )\,dx=$
$=\left[ -\dfrac{0,0706}{3}\,x^3+\dfrac{0,6259}{2}\,x^2+0,4447\,x \right]_{1}^{2} = 1,2188$
$= 1,2188$
Calculemos el error relativo de esta aproximación y veremos que es aceptablemente pequeño. Tengamos en cuenta que el valor exacto de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx=\left[ \dfrac{1}{2\,\sqrt{x}} \right]_{1}^{2}=1,2190$$ ( aproximando el resultado exacto con cuatro cifras decimales )
Entonces $$e=\dfrac{|1,2190-1,2188|}{1,2190} \approx 0,02\,\%$$
Observación.Dividiendo el intervalo $[a,b]$ en varios subintervalos y empleando la misma idea en cada subintervalo, conseguiremos aumentar mucho más la precisión en el cálculo numérico de la integral pedida. Denominamos a la regla que así se obtiene regla de Simpson compuesta. Podéis profundizar en ello en el siguiente artículo de Wikipedia.
$\square$
Con dicho método podemos aumentar la precisión de los datos obtenidos con respecto al método de los trapecios, pues en principio se ajusta mejor un segmento de parábola a el segmento de curva de la función a integrar que un segmento rectilíneo.
Recordemos que el objetivo de la integración numérica consiste en calcular $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$$ Supondremos que la función del integrando $f(x)$ es positiva en todo el dominio de integración.
Para empezar, sustituiremos el arco de curva asociada a la función $f(x)$ entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ por un segmento de parábola que pase por los puntos de abscisas $a$, $b$ y $m=\dfrac{a+b}{2}$ ( la abscisa del punto medio del intervalo $[a,b]$. Denotaremos por $\Phi$ a la función cuadrática asociada a dicho segmento de parábola; por consiguiente, ésta ha de ser de la forma $$\Phi(x)=Ax^2+Bx+C$$
Y, por consiguiente, $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$ que es más fácil intengrar que la función pedida.
Démonos cuenta de que hay que resolver un problema de interpolación cuadrática; beberemos pues determinar el valor de los coeficientes $A$, $B$ y $C$, imponiendo que los puntos $(a,f(a))$, $(b,f(b)$ y $(m, f(m)$ estén sobre la parábola dada por $\Phi(x)$
Ejemplo. Apliquemos el método de Simpson al cálculo de la integral
$$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx$$
Tal como hemos dicho, nos proponemos calcular una función polinómica de segundo grado $\Phi=Ax^2+Bx+C$, cuya gráfica pase por los puntos de abscisas $1$, $2$ y $\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$ para realizar la aproximación $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$
Calculemos pues los coeficientes del polinomio interpolador:
Como $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{1}=1^2\cdot A+1\cdot B+C$$
Lo mismo con el punto $B(2,\sqrt{2})$: tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{2}=2^2\cdot A+2\cdot B+C$$
Al igual que $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{3/2}=(3/2)^2\cdot A+(3/2)\cdot B+C$$
Así que, resolviendo el sistema de ecuaciones, podremos conocer el valor de $A$, $B$ y $C$:
$$\left\{\begin{matrix}A&+&B&+&C&=&1\\ 4A&+&2B&+&C&=&\sqrt{2} \\ \dfrac{9}{4}\,A&+&\dfrac{3}{2}\,B&+&C&=&\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}A&&&&&\approx &-0,0706\\ &&B&&&\approx & 0,6259\\ &&&&C&\approx &0,4447\end{matrix}\right. $$
Nota. Otra forma de calcular $\Phi(x)$ pasa por utilizar el poliomio interpolador de Lagrange o el de Newton, de los cuales ya he hablado en otros artículos de este mismo blog.
Así, podemos escribir $$\Phi(x) = -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447$$
Por consiguiente,
$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{1}^{2}\,( -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447 )\,dx=$
$=\left[ -\dfrac{0,0706}{3}\,x^3+\dfrac{0,6259}{2}\,x^2+0,4447\,x \right]_{1}^{2} = 1,2188$
$= 1,2188$
Calculemos el error relativo de esta aproximación y veremos que es aceptablemente pequeño. Tengamos en cuenta que el valor exacto de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx=\left[ \dfrac{1}{2\,\sqrt{x}} \right]_{1}^{2}=1,2190$$ ( aproximando el resultado exacto con cuatro cifras decimales )
Entonces $$e=\dfrac{|1,2190-1,2188|}{1,2190} \approx 0,02\,\%$$
Observación.Dividiendo el intervalo $[a,b]$ en varios subintervalos y empleando la misma idea en cada subintervalo, conseguiremos aumentar mucho más la precisión en el cálculo numérico de la integral pedida. Denominamos a la regla que así se obtiene regla de Simpson compuesta. Podéis profundizar en ello en el siguiente artículo de Wikipedia.
$\square$
Integración numérica por la regla de los trapecios
Consideremos la integral definida $\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)$ es positiva en todos los puntos del dominio de integración. Una manera sencilla de calcular dicha integral de forma numérica consiste en sustituir el arco de curva entre los puntos $A_{1}(a,f(a))$ y $A_{2}(b,f(b))$ por un segmento rectilíneo con esos mismos extremos, con lo cual el valor de la integral definida ( área delimitada entre la curva, el eje de abscisas, y las rectas paralelas al eje de ordenadas $x=a$ y $x=b$ ) es aproximadamente igual al área del trapecio rectángulo así formado, por lo que podemos escribir $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{b-a}{2}\cdot (f(b)+f(a))$$
Ejemplo. $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{2-1}{2}\cdot (2^2+1^2)=\dfrac{5}{2}$$ siendo el valor exacto de la integral $$\displaystyle \int_{2}^{1}\,f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot ( 2^3-1^3)=\dfrac{7}{3}$$ Podemos así calcular el error absoluto cometido en la aproximación, $$E=|\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}|=\dfrac{1}{6}$$ y también el error relativo $$e=\dfrac{1/6}{7/3}=\dfrac{1}{14}\approx 7\,\%$$
Es evidente que nn modo sencillo de aumentar la precisión de la aproximación consiste en dividir el dominio de integración en un cierto número de subintervalos; cuántos más subintervalos consideremos, menor será el error cometido. Este método se denomina método de los trapecios ( o regla compuesta del trapecio ).
Por simplicidad, haremos que la longitud, $h$, de los $n$ subintervalos ( separados $n+1$ puntos ) en que dividimos el intervalo $[a,b]$ sea la misma, con lo cual $$h=\dfrac{b-a}{n}$$
Si, por ejemplo, consideramos $2$ subintervalos, vemos que $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \dfrac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\cdot \dfrac{f(a+h)+f(b)}{2}$$ esto es $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a) + 2\,f(a+h)+f(b) \right)$$
Calculemos ahora la integral aproximada, con $n=2$ subintervalos y por tanto con $h=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$. Así, $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{1/2}{2}\cdot \left(1^2+2\cdot (1+1/2)+2^2\right)=\dfrac{19}{8}$$
El error absoluto es ahora igual a $$E=|\dfrac{19}{8}-\dfrac{7}{3}|=\dfrac{1}{24}$$ y el error relativo es de $$e=\dfrac{1/24}{7/3}\approx 2\,\%$$ que es lógicamente menor que el que habíamos obtenido con un sólo intervalo.
-oOo- Con $n=3$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{3}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h) \right)$$
Con $n=4$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{4}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+2\,f(a+3h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h)+f(a+3\,h) \right)$$
Por lo que, a partir de aquí, para un número $n\ge 1$ arbitrario de intervalos, es fácil generalizar la fórmula anterior, a la llamada fórmula de los trapecios:
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,f(a+i\,h) \right)$$
Observación. Si bien no vamos a ahondar más en el tema, cuando curséis asignaturas de grado en la universidad podréis leer en los libros de análisis numérico la justificación de la siguiente fórmula, que proporciona una estimación del error absoluto cometido en la aproximación empleando la fórmula de los trapecios: $$\Delta=\left|-\dfrac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\theta)\right|\; \text{donde}\; \theta\; \text{es un número que está comprendido entre}\;a\;\text{y}\;b$$
$\square$
Ejemplo. $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{2-1}{2}\cdot (2^2+1^2)=\dfrac{5}{2}$$ siendo el valor exacto de la integral $$\displaystyle \int_{2}^{1}\,f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot ( 2^3-1^3)=\dfrac{7}{3}$$ Podemos así calcular el error absoluto cometido en la aproximación, $$E=|\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}|=\dfrac{1}{6}$$ y también el error relativo $$e=\dfrac{1/6}{7/3}=\dfrac{1}{14}\approx 7\,\%$$
Es evidente que nn modo sencillo de aumentar la precisión de la aproximación consiste en dividir el dominio de integración en un cierto número de subintervalos; cuántos más subintervalos consideremos, menor será el error cometido. Este método se denomina método de los trapecios ( o regla compuesta del trapecio ).
Por simplicidad, haremos que la longitud, $h$, de los $n$ subintervalos ( separados $n+1$ puntos ) en que dividimos el intervalo $[a,b]$ sea la misma, con lo cual $$h=\dfrac{b-a}{n}$$
Si, por ejemplo, consideramos $2$ subintervalos, vemos que $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \dfrac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\cdot \dfrac{f(a+h)+f(b)}{2}$$ esto es $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a) + 2\,f(a+h)+f(b) \right)$$
Calculemos ahora la integral aproximada, con $n=2$ subintervalos y por tanto con $h=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$. Así, $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{1/2}{2}\cdot \left(1^2+2\cdot (1+1/2)+2^2\right)=\dfrac{19}{8}$$
El error absoluto es ahora igual a $$E=|\dfrac{19}{8}-\dfrac{7}{3}|=\dfrac{1}{24}$$ y el error relativo es de $$e=\dfrac{1/24}{7/3}\approx 2\,\%$$ que es lógicamente menor que el que habíamos obtenido con un sólo intervalo.
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h) \right)$$
Con $n=4$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{4}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+2\,f(a+3h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h)+f(a+3\,h) \right)$$
Por lo que, a partir de aquí, para un número $n\ge 1$ arbitrario de intervalos, es fácil generalizar la fórmula anterior, a la llamada fórmula de los trapecios:
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,f(a+i\,h) \right)$$
Observación. Si bien no vamos a ahondar más en el tema, cuando curséis asignaturas de grado en la universidad podréis leer en los libros de análisis numérico la justificación de la siguiente fórmula, que proporciona una estimación del error absoluto cometido en la aproximación empleando la fórmula de los trapecios: $$\Delta=\left|-\dfrac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\theta)\right|\; \text{donde}\; \theta\; \text{es un número que está comprendido entre}\;a\;\text{y}\;b$$
$\square$
domingo, 2 de junio de 2019
Interpolación por el método de Newton
En artículos anteriores he hablado sobre la obtención del polinomio interpolador de grado $n$ ( dado un conjunto de $n+1$ puntos ) mediante el método de determinación de los coeficientes del polinomio pedido, resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que aparece al imponer que los datos lo satisfagan, que puedes repasar siguiendo este enlace. También he hablado del método de Lagrange para obtener dicho polinomio, bastante más sofisticado y con claras ventajas de cálculo sobre el primero.
Los métodos de interpolación son importantes por su aplicabilidad numérica a muchos tipos de problemas; por ejemplo a la hora de integrar numéricamente una función cuya primitiva no sea fácil obtener o incluso para los casos en que dicha primitiva no sea una función elemental. Y, a pesar de que la solución obtenida así no será exacta, bien puede controlarse la imprecisión que ello conlleva. La idea clave de la integración numérica consiste en sustituir dicha función por una función aproximada, cuya integración no presente problemas, en un cierto intervalo. Desde luego, estos contenidos se cosideran de ampliación del currículo estándar de bachillerato. Y como ya sabes, suelo incidir en ellos una vez acabado ya el curso. Si tienes intención de cursar un grado en el que las matemáticas tengan un protagonismo relevante, creo sinceramente que estos contenidos de ampliación pueden serte de gran ayuda y de mucha motivación.
En este artículo te voy a hablar de otro método básico de interpolación polinómica: el método de Newton. Te darás cuenta de que el ejemplo que he utilizado en todos los artículos dedicados a explicar la interpolación polinómica ( el m. de determinación de los coeficientes por resolución del sistema de ecuaciones, el de Lagrange, y, ahora, el de Newton ) es el mismo ( con sólo tres puntos como datos, dando lugar a un polinomio de grado 2 ), pues he intentado que se entendieran bien los pasos de cálculo, a partir de un ejemplo sencillo. Sin embargo, te animo a que te plantees otros ejemplos con más de tres puntos ( 5 o 6 puntos para empezar estaría bien ), y que utilices para ello los métodos de Lagrange y de Newton, para evitar ( si utilizas el primer método ) sistemas de ecuaciones lineales de gran dimensión, que, en principio, suponen una gran cantidad de operaciones aritméticas a realizar.
El no tener que recalcularlo todo al añadir más puntos al conjunto de datos es otra razón importante a la hora de recomendarte el método de Newton frente, por ejemplo, al primer método ( el de la resolución del sistema de ecuaciones lineales ), siempre y cuando mantengas la misma distancia entre las abscisas de los nuevos puntos añadidos. Si ésto no fuese posible hacerlo por alguna razón, podrías utilizar entonces el método de Lagrange.
-oOo-
Sin más dilación, entro ya en materia sobre el método de interpolación de Newton. Consideremos el siguiente conjunto de $n+1$ puntos del plano cartesiano:
de modo de las abscisas sean equidistantes, esto es, $x_1-x_0=x_2-x_1=x_3-x_2=\ldots=h$
Llamamos diferencias primeras a las $n$ siguientes:
$\Delta\,f(x_0)=f(x_1)-f(x_0)$
$\Delta\,f(x_1)=f(x_2)-f(x_1)$
$\Delta\,f(x_2)=f(x_3)-f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta\,f(x_{n-1})=f(x_{n})-f(x_{n-1})$
Denominamos diferencias segundas a las $n-1$ siguientes:
$\Delta^{2}\,f(x_0)=\Delta\,f(x_1)-\Delta\,f(x_0)$
$\Delta^{2}\,f(x_1)=\Delta\,f(x_2)-\Delta\,f(x_1)$
$\Delta^{2}\,f(x_2)=\Delta\,f(x_3)-\Delta\,f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta^{2}\,f(x_{n-2})=\Delta\,f(x_{n-1})-\Delta\,f(x_{n-2})$
Denominamos diferencias terceras a las $n-2$ siguientes:
$\Delta^{3}\,f(x_0)=\Delta^{2}\,f(x_1)-\Delta^{2}\,f(x_0)$
$\Delta^{3}\,f(x_1)=\Delta^{2}\,f(x_2)-\Delta^{2}\,f(x_1)$
$\Delta^{3}\,f(x_2)=\Delta^{2}\,f(x_3)-\Delta^{2}\,f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta^{3}\,f(x_{n-3})=\Delta^{2}\,f(x_{n-2})-\Delta^{2}\,f(x_{n-3})$
...
y de manera génerica, diferencias $p$-ésimas ( $1 \le p \prec n$ ) a las $n-p$ restas $$\Delta^{p}\,f(x_{x_i})=\Delta^{p-1}\,f(x_{i+1})-\Delta^{p-1}\,f(x_{i})$$
Vamos a probar ahora que si conocemos $\{f(x_0),\Delta\,f(x_0),\Delta^{2}\,f(x_0),\ldots,\Delta^{k}\,f(x_0)\}$ podemos conocer el valor de $f(x_k)$
En efecto, de las diferencias primeras, podemos escribir $$f(x_1)=f(x_0)+\Delta\,f(x_0)$$ y $$f(x_2)=f(x_1)+\Delta\,f(x_1)=f(x_0)+\Delta\,f(x_0)+\Delta\,f(x_1)$$ y como, por otra parte, de las diferencias segundas, $\Delta\,f(x_1)=\Delta^{2}\,f(x_0)+\Delta\,f(x_0)$, podemos acabar escribiendo que $$f(x_2)=f(x_0)+\Delta^{2}\,f(x_0)+2\,\Delta\,f(x_0)$$
De manera análoga, podremos escribir $f(x_3)$ en términos de $f(x_0)$ y de las diferencias de orden tres dos y uno: $$f(x_3)=f(x_0)+3\,\Delta^{2}\,f(x_0)+3\,\Delta\,f(x_0)+\Delta^{3}\,f(x_0)$$ y, en general ( emerge un patrón claro ): $$\displaystyle f(x_k)=\sum_{i=0}^{k}\,\binom{k}{i}\,\Delta^{i}\,f(x_0)\;\text{para todo}\;k=0,1,2,\ldots,n$$
Vamos a comprobar esta fórmula con el siguiente ejemplo. Sean los siguientes tres puntos del plano
A partir de esta información de partida podemos construir una tabla de diferencias:
que, con los datos del ejemplo, se concreta así:
Como tenemos $3=2+1$ puntos, $n=2$; y $k$ tomará los valores: $0,1$ y $2$. Observemos que reproducimos el interior de la tabla; en efecto:
$f(x_0)=-1$
$\displaystyle f(x_1)=\binom{1}{0}\,f(x_0)+\binom{1}{1}\,\Delta\,f(x_0)=1\cdot(-1)+1\cdot (-1)=-2$
$\displaystyle f(x_2)=\binom{2}{0}\,f(x_0)+\binom{2}{1}\,\Delta\,f(x_0)+ \binom{2}{2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)=1\cdot (-1)+2\cdot (-1)+1\cdot 2 = -1$
-oOo-
Pues bien, para $k:=n$ podemos escribir
$$\displaystyle f(x_n)=\sum_{i=0}^{n}\,\binom{n}{i}\,\Delta^{i}\,f(x_0)$$ y desarrollando los coeficientes binomiales podemos expresarlo también así
$$\displaystyle f(x_0)+n\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{n\,(n-1)}{2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{n\,(n-1)\,(n-2)\,\ldots\,1}{n!}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$$
Tengamos en cuenta ahora la equidistancia de las abscisas consecutivas ( recordemos que hemos supuesto que dicha distancia es $h$ ), entonces:
$$x_n=x_0+n\,h \Rightarrow n=\dfrac{x_n-x_0}{h}$$
$$x_n=x_1+(n-1)\,h \Rightarrow n-1=\dfrac{x_n-x_1}{h}$$
$$\ldots$$
$$x_n=x_{n-1}+1\cdot h \Rightarrow 1=\dfrac{x_n-x_{n-1}}{h}$$
así que sustituyendo en la expresión de $f(x_n)$ llegamos a
$f(x_0)+\dfrac{x_n-x_0}{1!\,h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)}{2!\,h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+ $
$+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)}{3!\,h^3}\,\Delta^{3}\,f(x_0)+$
$\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)\ldots(x_n-x_{n-1})}{n!\,h^n}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$
En consecuencia, para un $x$ genérico, que no sea necesariamente una las abscisas de los datos, si bien su valor sea cercano a las mismas, será razonable escribir el polinomio interpolador de Newton de grado $n$ ( a partir de los $n+1$ puntos que se dan como datos ) como
$P_{n}\,(x)=f(x_0)+\dfrac{x-x_0}{1!\,h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{2!\,h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+ $
$+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{3!\,h^3}\,\Delta^{3}\,f(x_0)+$
$\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_{n-1})}{n!\,h^n}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$
que, de manera abreviada, podemos escribir también de la forma $$\displaystyle P_{n}(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{\Delta^{i}\,f(x_0)}{i!\,h^i}\,\prod_{j=0}^{i-1}\,(x-x_j)$$
-oOo-
Para el ejemplo concreto que nos hemos planteado ( recordemos la tabla de diferencias ):
podemos escribir el polinomio interpolador de Newton de grado $2$ ( para este conjunto de datos formado por tres puntos ):
$$P_{2}(x)=f(x_0)+\dfrac{x-x_0}{1! \cdot h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{2 !\cdot h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)$$
con lo cual
$$P(x)=-1-\dfrac{x-(-2)}{1}\cdot (-1)+\dfrac{(x-(-2))(x-(-1))}{2}\cdot 2 = x^2+2x-1$$
Con ello, podríamos obtener la ordenada correspondiente a una abscisa próxima a alguna de las que figuran como datos; por ejemplo a un punto con abscisa $x=-3/2$, la ordenada que le corresponde, según el polinomio interpolador obtenido, es $P(-3/2)=(-/2)^2+2\cdot (3/2)-1=17/4$
$\square$
Los métodos de interpolación son importantes por su aplicabilidad numérica a muchos tipos de problemas; por ejemplo a la hora de integrar numéricamente una función cuya primitiva no sea fácil obtener o incluso para los casos en que dicha primitiva no sea una función elemental. Y, a pesar de que la solución obtenida así no será exacta, bien puede controlarse la imprecisión que ello conlleva. La idea clave de la integración numérica consiste en sustituir dicha función por una función aproximada, cuya integración no presente problemas, en un cierto intervalo. Desde luego, estos contenidos se cosideran de ampliación del currículo estándar de bachillerato. Y como ya sabes, suelo incidir en ellos una vez acabado ya el curso. Si tienes intención de cursar un grado en el que las matemáticas tengan un protagonismo relevante, creo sinceramente que estos contenidos de ampliación pueden serte de gran ayuda y de mucha motivación.
En este artículo te voy a hablar de otro método básico de interpolación polinómica: el método de Newton. Te darás cuenta de que el ejemplo que he utilizado en todos los artículos dedicados a explicar la interpolación polinómica ( el m. de determinación de los coeficientes por resolución del sistema de ecuaciones, el de Lagrange, y, ahora, el de Newton ) es el mismo ( con sólo tres puntos como datos, dando lugar a un polinomio de grado 2 ), pues he intentado que se entendieran bien los pasos de cálculo, a partir de un ejemplo sencillo. Sin embargo, te animo a que te plantees otros ejemplos con más de tres puntos ( 5 o 6 puntos para empezar estaría bien ), y que utilices para ello los métodos de Lagrange y de Newton, para evitar ( si utilizas el primer método ) sistemas de ecuaciones lineales de gran dimensión, que, en principio, suponen una gran cantidad de operaciones aritméticas a realizar.
El no tener que recalcularlo todo al añadir más puntos al conjunto de datos es otra razón importante a la hora de recomendarte el método de Newton frente, por ejemplo, al primer método ( el de la resolución del sistema de ecuaciones lineales ), siempre y cuando mantengas la misma distancia entre las abscisas de los nuevos puntos añadidos. Si ésto no fuese posible hacerlo por alguna razón, podrías utilizar entonces el método de Lagrange.
Sin más dilación, entro ya en materia sobre el método de interpolación de Newton. Consideremos el siguiente conjunto de $n+1$ puntos del plano cartesiano:
Llamamos diferencias primeras a las $n$ siguientes:
$\Delta\,f(x_0)=f(x_1)-f(x_0)$
$\Delta\,f(x_1)=f(x_2)-f(x_1)$
$\Delta\,f(x_2)=f(x_3)-f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta\,f(x_{n-1})=f(x_{n})-f(x_{n-1})$
Denominamos diferencias segundas a las $n-1$ siguientes:
$\Delta^{2}\,f(x_0)=\Delta\,f(x_1)-\Delta\,f(x_0)$
$\Delta^{2}\,f(x_1)=\Delta\,f(x_2)-\Delta\,f(x_1)$
$\Delta^{2}\,f(x_2)=\Delta\,f(x_3)-\Delta\,f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta^{2}\,f(x_{n-2})=\Delta\,f(x_{n-1})-\Delta\,f(x_{n-2})$
Denominamos diferencias terceras a las $n-2$ siguientes:
$\Delta^{3}\,f(x_0)=\Delta^{2}\,f(x_1)-\Delta^{2}\,f(x_0)$
$\Delta^{3}\,f(x_1)=\Delta^{2}\,f(x_2)-\Delta^{2}\,f(x_1)$
$\Delta^{3}\,f(x_2)=\Delta^{2}\,f(x_3)-\Delta^{2}\,f(x_2)$
$\ldots$
$\Delta^{3}\,f(x_{n-3})=\Delta^{2}\,f(x_{n-2})-\Delta^{2}\,f(x_{n-3})$
...
y de manera génerica, diferencias $p$-ésimas ( $1 \le p \prec n$ ) a las $n-p$ restas $$\Delta^{p}\,f(x_{x_i})=\Delta^{p-1}\,f(x_{i+1})-\Delta^{p-1}\,f(x_{i})$$
Vamos a probar ahora que si conocemos $\{f(x_0),\Delta\,f(x_0),\Delta^{2}\,f(x_0),\ldots,\Delta^{k}\,f(x_0)\}$ podemos conocer el valor de $f(x_k)$
En efecto, de las diferencias primeras, podemos escribir $$f(x_1)=f(x_0)+\Delta\,f(x_0)$$ y $$f(x_2)=f(x_1)+\Delta\,f(x_1)=f(x_0)+\Delta\,f(x_0)+\Delta\,f(x_1)$$ y como, por otra parte, de las diferencias segundas, $\Delta\,f(x_1)=\Delta^{2}\,f(x_0)+\Delta\,f(x_0)$, podemos acabar escribiendo que $$f(x_2)=f(x_0)+\Delta^{2}\,f(x_0)+2\,\Delta\,f(x_0)$$
De manera análoga, podremos escribir $f(x_3)$ en términos de $f(x_0)$ y de las diferencias de orden tres dos y uno: $$f(x_3)=f(x_0)+3\,\Delta^{2}\,f(x_0)+3\,\Delta\,f(x_0)+\Delta^{3}\,f(x_0)$$ y, en general ( emerge un patrón claro ): $$\displaystyle f(x_k)=\sum_{i=0}^{k}\,\binom{k}{i}\,\Delta^{i}\,f(x_0)\;\text{para todo}\;k=0,1,2,\ldots,n$$
Vamos a comprobar esta fórmula con el siguiente ejemplo. Sean los siguientes tres puntos del plano
A partir de esta información de partida podemos construir una tabla de diferencias:
que, con los datos del ejemplo, se concreta así:
Como tenemos $3=2+1$ puntos, $n=2$; y $k$ tomará los valores: $0,1$ y $2$. Observemos que reproducimos el interior de la tabla; en efecto:
$f(x_0)=-1$
$\displaystyle f(x_1)=\binom{1}{0}\,f(x_0)+\binom{1}{1}\,\Delta\,f(x_0)=1\cdot(-1)+1\cdot (-1)=-2$
$\displaystyle f(x_2)=\binom{2}{0}\,f(x_0)+\binom{2}{1}\,\Delta\,f(x_0)+ \binom{2}{2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)=1\cdot (-1)+2\cdot (-1)+1\cdot 2 = -1$
Pues bien, para $k:=n$ podemos escribir
$$\displaystyle f(x_n)=\sum_{i=0}^{n}\,\binom{n}{i}\,\Delta^{i}\,f(x_0)$$ y desarrollando los coeficientes binomiales podemos expresarlo también así
$$\displaystyle f(x_0)+n\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{n\,(n-1)}{2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{n\,(n-1)\,(n-2)\,\ldots\,1}{n!}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$$
Tengamos en cuenta ahora la equidistancia de las abscisas consecutivas ( recordemos que hemos supuesto que dicha distancia es $h$ ), entonces:
$$x_n=x_0+n\,h \Rightarrow n=\dfrac{x_n-x_0}{h}$$
$$x_n=x_1+(n-1)\,h \Rightarrow n-1=\dfrac{x_n-x_1}{h}$$
$$\ldots$$
$$x_n=x_{n-1}+1\cdot h \Rightarrow 1=\dfrac{x_n-x_{n-1}}{h}$$
así que sustituyendo en la expresión de $f(x_n)$ llegamos a
$f(x_0)+\dfrac{x_n-x_0}{1!\,h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)}{2!\,h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+ $
$+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)}{3!\,h^3}\,\Delta^{3}\,f(x_0)+$
$\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_2)\ldots(x_n-x_{n-1})}{n!\,h^n}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$
En consecuencia, para un $x$ genérico, que no sea necesariamente una las abscisas de los datos, si bien su valor sea cercano a las mismas, será razonable escribir el polinomio interpolador de Newton de grado $n$ ( a partir de los $n+1$ puntos que se dan como datos ) como
$P_{n}\,(x)=f(x_0)+\dfrac{x-x_0}{1!\,h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{2!\,h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)+ $
$+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{3!\,h^3}\,\Delta^{3}\,f(x_0)+$
$\overset{\underbrace{n+1}}{\ldots}+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_{n-1})}{n!\,h^n}\,\Delta^{n}\,f(x_0)$
que, de manera abreviada, podemos escribir también de la forma $$\displaystyle P_{n}(x)=f(x_0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{\Delta^{i}\,f(x_0)}{i!\,h^i}\,\prod_{j=0}^{i-1}\,(x-x_j)$$
Para el ejemplo concreto que nos hemos planteado ( recordemos la tabla de diferencias ):
podemos escribir el polinomio interpolador de Newton de grado $2$ ( para este conjunto de datos formado por tres puntos ):
$$P_{2}(x)=f(x_0)+\dfrac{x-x_0}{1! \cdot h}\,\Delta\,f(x_0)+\dfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{2 !\cdot h^2}\,\Delta^{2}\,f(x_0)$$
con lo cual
$$P(x)=-1-\dfrac{x-(-2)}{1}\cdot (-1)+\dfrac{(x-(-2))(x-(-1))}{2}\cdot 2 = x^2+2x-1$$
Con ello, podríamos obtener la ordenada correspondiente a una abscisa próxima a alguna de las que figuran como datos; por ejemplo a un punto con abscisa $x=-3/2$, la ordenada que le corresponde, según el polinomio interpolador obtenido, es $P(-3/2)=(-/2)^2+2\cdot (3/2)-1=17/4$
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