Un ejercicio de geometría euclídea

ENUNCIADO. Sean las rectas de $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{matrix}\right.$ y $s\equiv x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$. Se pide:
a) La ecuación del plano $\sigma$ que contiene a $r$ y a $s$
b) La ecuación de la recta $t$ que pasa por $P=(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a $r$
c) El valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi\equiv x-2y+az=b$

SOLUCIÓN.
a) Extraigamos información de las ecuaciones de las rectas dadas:

Interpretando la ecuación de $s$, que viene dada en forma continua, $\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z-2}{2}$, vemos que un vector en la dirección de $s$ es $\vec{u}_s=(1,1,2)$ y un punto de dicha recta es $A_{s}=(0,-1,2)$

La recta $r$, que viene dada por sus ecuaciones cartesians, puede expresarse en forma paramétrica: $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x=-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ y=\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\,\lambda \\ z=\lambda \end{matrix}\right.$$ de lo cual deducimos que un punto de $r$ es $A_r=(-3/2,3/2,0)$, y un vector en la dirección de $r$ es $(1/2,1/2,1) \propto \vec{u}_r=(1,1,2)=\vec{u}_s$, por lo que $r\parallel s$ ( $r$ y $s$ son paralelas).

Observemos que

Un vector en la dirección perpendicular de sendas rectas (paralelas ), vendrá dado por $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}} \times \vec{u}_s$ ( que es, por tanto, un vector característico del plano pedido $\sigma$, y al que denotaremos por $\vec{n}_{\sigma}$ ), donde $\overset{\rightarrow}{A_{r}A_{s}}=(0-(-3/2),-1-3/2,2-0)=(3/2,-5/2,2)$

Así pues $\vec{n}_{\sigma}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&2 \\ 3/2&-5/2&2\end{vmatrix}=7\,\vec{i}+\vec{j}-4\,\vec{k}=(7,1,-4)$, siendo $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ a la cual vienen referidas las coordenadas de los puntos y vectores que estamos manejando.

Es sabido que la ecuación general de $\sigma$ viene dada por $Ax+By+Cz+D=0$, donde $A=7$, $B=1$ y $C=-4$; por consiguiente, $\sigma\equiv 7x+y-4z+D=0$. Para determinar el valor de $D$ tendremos en cuenta que $A_s=(0,-1,2) \in s \subset \sigma$, las coordenadas de dicho punto deberán satisfacer la ecuación general del plano $\sigma$: $$7\cdot 0+(-1)-4\cdot 2+ D=0 \Rightarrow D=9$$ En consecuencia,la ecuación del plano pedido ( que contiene a $r$ y a $s$ ) es $$\sigma\equiv 7x+y-4z+9=0$$

b) Procederemos de la siguiente manera: primero determinaremos el plano que es perpendicular a $r$ y que contiene a $P$; a continuación, determinaremos el punto de intersección $I$ de dicho plano con la recta $r$, y con ello tendremos un vector $\overset{\rightarrow}{IP}$ en la dirección de la recta pedida $t$ ( la que contiene a $P$ y corta perpendicularmente a $r$ ), con lo cual ya podremos escribir la ecuación de $t$, puesto que conoceremos un vector de la misma y un punto que pasa por dicha recta.

Sea $\alpha$ el plano que contiene a $P=(0,-1,2)$ y es perpendicular a $r$. Un vector característico de $\alpha$ es por tanto $\vec{u}_r=(1,1,2)$, por lo que podemos escribir la ecuación general de $\alpha$ de la forma $$\alpha\equiv x+y+2z+D_{\alpha}=0$$ Para determinar el coeficiente $D_{\alpha}$ tendremos en cuenta que las coordenadas de $P$ han de satisfacer dicha ecuación, puesto que $P \in \alpha$, con lo cual $$-1+2\cdot 2+D_{\alpha}=0 \Rightarrow D=-3$$ En consecuencia, $$\alpha\equiv x+y+2z-3=0$$

Denotemos ahora por $I$ el punto de intersección de $\alpha$ y $r$, entonces $$I=\alpha \cap r \equiv \left\{\begin{matrix}x+y+2z-3=0\\ x-y+3=0\\2x-z+3=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x_I=-1\\ y_I=2\\z_I=1\end{matrix}\right.$$

Un vector en la dirección de la recta pedida es pues $\vec{t}:=\overset{\rightarrow}{IP}=(-1-0,2-(-1),1-2)=(-1,3,-1)$, y, por consiguiente la ecuación vectorial de la recta $t$ ( que contiene a $P$ y corta a $r$ perpendicularmente es ) $$t\equiv (x,y,z)=(0,-1,2)+\lambda\,(-1,3,-1)$$

c) De la ecuación en forma general del plano $\pi \equiv x-2y+az=b$ podemos escribir un vector característico de dicho plano: $\vec{n}_{\pi}=(1,-2,a)$.

Para que $s\equiv x=y+1=\dfrac{z-2}{2}$ ( con vector director $\vec{u}_r=(1,1,2)$ ) esté en el plano $\pi$ deberá cumplirse que $\vec{n}_{\pi} \perp \vec{u}_r$ y por tanto que el producto escalar de dichos vectores sea nulo $$\langle (1,-2,a),(1,1,2)\rangle = 0 \Leftrightarrow 1\cdot 1 +(-2)\cdot 1 +2a=0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$$

Por otra parte debemos tener en cuenta que el punto $A_s=(0,-1,2)$ está en el plano $\pi$ ya que es un punto de la recta $s$ ( que está contenida en dicho plano ). Por consiguiente, sus coordenadas tienen que satisfacer la ecuación general de $\pi$, esto es: $$0-2\cdot (-1)+\dfrac{1}{2}\cdot 2 = b \Rightarrow b=3$$

$\square$