Desarrollos en series de potencias de Mac Laurin que son útiles en muchas situaciones

Recordemos ( ver el artículo en el que ya se ha hablado del teorema de Taylor ) que una consecuencia de dicho teorema es el desarrollo en series de potencias de funciones alrededor de $x=0$, siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
i) $f(x)$ está definida en $x=0$ y en un entorno de $x=0$, $E_{0}$ lo suficiente próximo a dicho punto
ii) $f(x)$ es continua en $E_0$
iii) $f(x)$ puede derivarse $n+1$ veces en $E_0$
En estas condiciones, existe pues un punto de $x\in E_0$ para el cual $$\displaystyle f(x)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,x^n+E_n(x)\quad \quad [1]$$ donde $E_n(x)$ es el resto ( término de error ) de dicho desarrollo, para el cual hemos visto que puede tomarse el llamado resto de Lagrange: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$ y, también, el llamado resto de Cauchy: $$\displaystyle E_n(x):=\dfrac{(x-\theta)^{n}\,x}{n!}\,f^{(n+1)}(\theta)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$

Algunos desarrollos en serie de potencias de las funciones que aparecen con mucha frecuencia son los siguientes ( compruébese como ejercicio ):

$\displaystyle e^x=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{x^i}{i!}+E_n(x) \quad \text{para} \quad -\infty \prec x \prec +\infty$

$\displaystyle \ln(x+1)=\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{(-1)^{i+1}\,x^i}{i}+E_n(x) \quad \text{para} \quad |x| \prec 1$

$\displaystyle \sin\,x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$

$\displaystyle \cos\,x=x-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -\infty \prec x \prec +\infty$

$\displaystyle \arctan\,x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\dfrac{x^7}{7}+\ldots+E_n(x) \quad \text{para} -1 \le x \le 1$

...

Podemos así calcular el valor aproximado de una función en un punto $x=c$ de la misma sin más que sustituir $x$ por $c$ en [1] $$f(c)=\sum_{i=0}^{n}\,\dfrac{f^{(i)}(0)}{i!}\,c^n+E_n(c)$$

$\square$