Otro ejercicio de geometría. Problemas métricos en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Se considera el plano $\pi\equiv 9x+12y+20z-180=0$. Se pide:
a) Las ecuaciones de los dos planos paralelos a $\pi$ que distan $4$ unidades del mismo
b) Las coordenadas de los puntos $A,B$ y $C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes Ox, Oy y Oz
c) El valor del ángulo formado entre los vectores $\overset{\rightarrow}{AB}$ y $\overset{\rightarrow}{AC}$
c) El volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos $A,B$ y $C$

SOLUCIÓN.
a) Todo plano $\sigma$ paralelo a $\pi$ que diste de él $4$ unidades deberá tener los mismos coeficientes $a,b$ y $c$ en su ecuación general que los del plano $\pi$, pues ambos tienen el mismo vector característico $\vec{n}_{\sigma}=\vec{n}_{\pi}=(a,b,c)=(9,12,20)$, por lo que su ecuación general $\sigma\equiv ax+by+cz+d_{\sigma}=0$ es $$\sigma\equiv 9x+12y+20z+d_{\sigma}=0$$

Sabemos que $4=\text{dist}(\sigma,\pi)=\text{dist}(P_{\sigma},\pi)$, y escogiendo $P_{\sigma}=(0,0,-d_{\sigma}/20)$, podemos escribir
$$4=\dfrac{\left|9\cdot 0+12\cdot 0+20\cdot (-d_{\sigma}/20) -180 \right|}{\left|\sqrt{9^2+12^2+20^2}\right|}$$ y por tanto $$\dfrac{\left|-d_{\sigma}-180\right|}{25}=4$$ luego $$\left|-d_{\sigma}-180\right|=100 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-d_{\sigma}-180=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{1}}=-280 \\ -(-d_{\sigma}-180)=100 \Rightarrow d_{{\sigma}_{2}}=-80 \\ \end{matrix}\right.$$

Por lo que los dos planos pedidos son: $$\begin{matrix}\sigma_1\equiv 9x+12y+20z-280=0\\ \text{y} \\ \sigma_2\equiv 9x+12y+20z-80=0\end{matrix}$$

b.i)
El eje Ox viene dado por la intersección de los siguientes planos $\left\{\begin{matrix}y=0\\z=0\end{matrix}\right.$; el eje Oy por $\left\{\begin{matrix}x=0\\z=0\end{matrix}\right.$, y el eje Oz por $\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.$

Así pues
$$A=\pi \cap Ox \equiv \left\{\begin{matrix}97x+12y+20z -180 =0\\ y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(180/9,0,0)=(20,0,0)$$
$$B=\pi \cap Oy \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ z=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; A=(0,180/12,0)=(0,15,0)$$
$$C=\pi \cap Oz \equiv \left\{\begin{matrix}9x+12y+20z -180 =0\\ x=0 \\ y=0\end{matrix}\right.,\;\text{luego}\; C=(0,0,180/20)=(0,0,9)$$

b.ii)

$\overset{\rightarrow}{AB}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,15,0)-(20,0,0)=(-20,15,0)$

$\overset{\rightarrow}{AC}=\overset{\rightarrow}{OC}-\overset{\rightarrow}{OA}=(0,0,9)-(20,0,0)=(-20,0,9)$

$\measuredangle ( \overset{\rightarrow}{AB}, \overset{\rightarrow}{AC} )=\arccos \, \dfrac{\langle (-20,15,0),(-20,0,9) \rangle}{\left\|(-20,15,0)\right\|\cdot \left\|(-20,0,9)\right\|}=\arccos \, \dfrac{400}{25\,|\sqrt{481}|}\approx 43,2^{\circ}$

Nota: Con la notación $\langle .\,,\,.\rangle$ se designa el producto escalar de dos vectores

c) Un prisma tal como el formado por los vectores $\overset{\rightarrow}{OA}$, $\overset{\rightarrow}{OB}$, $\overset{\rightarrow}{OC}$ se descompone en $6$ tetraedros iguales, luego
$$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\,V_{\text{prisma}}=\dfrac{1}{6}\,\left|\left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right] \right| \quad \quad [1]$$

Nota: La notación $[.,.,.]$ designa el producto mixto de tres vectores

Calculemos el producto mixto:
$$\displaystyle \left[ \overset{\rightarrow}{OA},\overset{\rightarrow}{OB},\overset{\rightarrow}{OB}\right]=\begin{vmatrix} 20 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix}=2700$$

Así pues, de [1], $$\displaystyle V_{\text{tetraedro}}=\dfrac{1}{6}\cdot |2700|=\dfrac{2700}{6}=450\,\text{unidades de volumen}$$

$\square$