Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra lineal

ENUNCIADO. Un estudiante pidió en la cafetería $3$ bocadillos, $2$ refrescos y $2$ bolsas de patatas y pagó un total lde $19$ euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron $4$ euros.
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
    $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
        $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
$\square$