Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro real $a$
b) Calcúlese, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a=0$

SOLUCIÓN.

a)
I) Procedamos a realizar el análisis del rango por el método de los determinantes ( menores complementarios ). Como el tamaño de la matriz e $3\times 4$, el rango de la misma es menor o igual que $3$. Por otra parte, bbservemos que la sumbmatriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{pmatrix}$ tiene determinante no nulo, $\begin{vmatrix}1&4\\1& 2\end{vmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot -4=-2\neq 0$, por tanto el rango de $A$ es al menos $2$. Para estudiar para qué valores de $a$ el rango es $3$, empleamos el algoritmo del orlado. Orlando esta submatriz nos encontramos solamente con dos menores de orden $2$:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13} & a_{14}\\ a_{21}& a_{23} & a_{24} \\ a_{31}&a_{33} & a_{34}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4&1\\ 1& 2 & 2-a \\ -1&a & a-2\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
y
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&4\\ 1& a & 2 \\ -1&2 & a\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=3$

II) Comentaremos también el método de Gauss. Procedemos a obtener la matriz escalonada de $A$ por reducción de Gauss, pues la matriz escalonada así obtenida es equivalente en rango a la matriz original. El análisis, por este método, consiste en contar el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss que obtendremos, pues éste proporciona el rango de dicha matriz ( y por tanto el de la matriz original ) para el valor o valores del parámetro $a$ que correspondan con las situaciones que aparezcan:

$\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \overset{f_2+f_3\,\rightarrow\, f_3\,,\,-f_1+f_2\,\rightarrow\, f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & a+2 & a+2 & 0 \end{pmatrix}\sim$
$\overset{-(a+2)\,f_2+(a-3)\,f_3\,\rightarrow\, f_3}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & 0 & (a+2)(a-1) & (a+2)(a-1) \end{pmatrix}$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $2$, luego $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $3$, luego $\text{rango}(A)=3$


b) Observemos que $A_{3\times 4}\,M_{4\times 3} \rightarrow C_{3\times 3}$, así que siendo cuadrada, esta matriz tiene asociada matriz inversa, sólo en el caso de que sea regular.
Para $a:=0$, $C\overset{.}{=}\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y como $\begin{vmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\neq 0$, $C$ es regular, y, por tanto, inversible.

Calcularemos ahora la inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan ( que es un método de reducción ), efectuando operaciones elementales entre filas para transformar la matriz $(C|I)$ en la matriz $(I|C^-1)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow$

$\overset{2f_2+3f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{-f_2+f_1\,\rightarrow\,f_1\,,\,-f_3+2f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}$

$\rightarrow\,\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&6&0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right)\rightarrow$

$\overset{(-1/6)\,f_2 \,\rightarrow f_2\,,\,(1/2)\,f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5/2 & 3/2 \end{array}\right)$

Así pues, $$C^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -4 & -3\\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$

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Nota: Si bien no lo haré aquí (para no alargarme demasiado), recordad que también podéis calcular la matriz inversa por el método de la matriz de los elementos adjuntos: $C^{-1}=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,(\text{Adj}(A))^t=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,\text{Adj}(A^t)$. Aquí podéis leer un artículo (en este mismo blog) donde expongo un ejemplo de cálculo de la matriz inversa (por el método de la matriz de los adjuntos) asociada a una matriz regular que también es de orden $3$, pero distinta a la este ejercicio.
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