Un ejercicio acerca del teorema de Rolle

ENUNCIADO. Se considera la función $$g(x)=x\,e^{-x^2}+a\,x$$ donde $a$ es un parámetro real. Calcúlense los valores que puede tomar $a$ para que pueda aplicarse el teorema de Rolle en el intervalo de la variable independiente $[0,1]$

SOLUCIÓN.

Teorema de Rolle. Sea $g(x)$ una función real de una variable real, continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. En estas condiciones, existe al menos un valor de $x$ entre $a$ y $b$ en el cual se anula la primera derivada de $g(x)$.

En el caso concreto que nos ocupa, la función derivada de $g(x)$ es $g'(x)=e^{-x^2}\,(1-2x^2)+a$. Al anularse dicha derivada (tesis), obtenemos $$a=(2\,x^2-1)\,e^{-x^2}$$ de manera que se tiene que en los extremos del intervalo señalado:
  i) Para $x:=0$, $a=(2\cdot 0-1)\cdot e^{0}=-1$
y
  ii) Para $x:=1$, $a=(2\cdot 1^2-1)\cdot e^{-1^2}=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
luego el conjunto de valores pedidos de $a$ son tales que $-1 \prec a \prec \dfrac{1}{e}$
$\square$