Un ejercicio más sobre análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|$, se pide:
a) El dominio de definición de dicha función
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento
c) Calcular los límites laterales $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}$ y $\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}$

SOLUCIÓN.
a) $f(x)=\left|\sqrt{4x^2-x^4}\right|=x\,\left|\sqrt{4-x^2}\right|$ y para que un $x\in \mathbb{R}$ tenga imagen deberá cumplirse que $4-x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 \le 4 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \le 2 \\ y \\ x\ge -2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in [-2,2]\subset \mathbb{R}$

b) Para encontrar los intervalos de crecimiento/decrecimiento vamos a buscar primero los extremos relativos (e.r.) y a determinar su naturaleza. La condición necesaria que debe cumplir un $x\in \text{Dom}\,f$ para que sea e.r. es que su derivada primera sea nula: $f'(x)=0$. Derivando la función se obtiene $$f'(x)=2\,\dfrac{2-x^2}{|\sqrt{4-x^2}|}=0 \Leftrightarrow 4-x^2=0 \Leftrightarrow x^*=\left\{ \begin{matrix}-|\sqrt{2}| \\ \\ |\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$

Veamos la naturaleza de estos extremos relativos, utilizando el criterio del cambio de signo de la primera derivada en los puntos a la izquierda y a la derecha del extremo relativo. Es fácil comprobar que:

$f'(-2 \prec x \prec -|\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'(-|\sqrt{2}| \prec x \prec 0)\succ 0$, luego $x_{1}^*=-|\sqrt{2}|$ es la abscisa de un máximo relativo [1]

$f'(0 \prec x \prec |\sqrt{2}|)\succ 0$ y $f'( -|\sqrt{2}| \prec x \prec 2)\prec 0$, luego $x_{2}^*=|\sqrt{2}|$ es la abscisa de otro máximo relativo [2]

La gráfica de la función pasa por el origen de coordenadas, pues $f(0)=0$; y, por otra parte, las raíces de la función son $f(x)=0\Leftrightarrow 4x^2-x^4=0 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-2\\ 0 \\ 2\end{matrix}\right.$ y por tanto corta al eje de abscisas en los puntos $(-2,0)$, $(0,0)$ y $2,0)$, por lo que teniendo también en cuenta [1] y [2] se deduce de todo ello que la función no es derivable en $x=0$ ( véase el esquema de la gráfica a continuación ).

De lo anterior se deduce que la función crece en los intervalos $I_{1}^{\uparrow}=(-2,-|\sqrt{2}|)$ y $I_{2}^{\uparrow}=(0,|\sqrt{2}|)$; por otra parte, decrece en los intervalos $I_{3}^{\downarrow}=(-|\sqrt{2}|,0)$ y $I_{4}^{\downarrow}=(|\sqrt{2}|,2)$

c)
La función $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}=|\sqrt{4-x^2}|$ corresponde a la gráfica de la media circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio igual a $|\sqrt{4}|=2$ que queda por encima del eje de abscisas, luego toma valores positivos a la derecha y a la izquierda de $x=0$.

En consecuencia:

$\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{-}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x\,\rightarrow\,0^{+}}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}\,(|\sqrt{4-x^2}|)=2$

$\square$