Un ejercicio de análisis de funciones

ENUNCIADO. Dos móviles, $A$ y $B$, se encuentran en las siguientes posiciones iniciales $(0,0)$ y $(250,0)$, respectivamente, siendo $1\,\text{km}$ la distancia entre el origen de coordenadas $(0,0)$ a los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$. El móvil $A$ se desplaza sobre el eje Oy a una velocidad constante de $30\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$ kilómetros por hora, desde su posición inicial hasta la posición $(0,375/2)$; y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje Oy, desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas, a una velocidad constante de $40\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$. Se pide:

a) La distancia $f(t)$ que separa a los dos móviles en todo instante de tiempo ($t$, en horas ) desde que comenzaron a desplazarse hasta que llegan a las respectivas posiciones finales.
b) El tiempo $T$ que tardan los móviles en desplazarse desde sus posiciones iniciales hasta sus posiciones finales, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función distancia $f(t)$ entre los mismos en su recorrido hasta sus posiciones finales.
c) Los valores de $t$ para los que la distancia $f(t)$ entre los dos móviles es máxima y mínima durante sus desplazamientos, así como los valores de máximo/mínimo.

SOLUCIÓN.
a) El movimiento del móvil $A$ a lo largo del eje Oy viene dado por la ecuación $$y(t)=30\,t$$ y el del móvil $B$ ( a lo largo del eje Ox ) por $$x(t)=-40\,t+250$$ luego la distancia euclídea entre uno y otro en todo instante de tiempo es $$f(t)=\left|\sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}\right|$$ esto es $$f(t)=\left|\sqrt{(30\,t)^2+(-40\,t+250)^2}\right|=50\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|$$

b) El tiempo que tardan sendos móviles a llegar a sus posiciones finales se calcula a partir de sus ecuaciones respectivas.

Para el móvil $B$, si $y(t)=30\,t$, entonces para $y_{\text{final}}:=375/2$, $T=375/(2\cdot 30)=25/4\,\text{h}$; y, lo mismo para el móvil $A$, como $x(t)=-40\,t+250$, entonces si $x_{\text{final}}:=0$, se tiene que $0=-40\cdot T+250$, con lo cual $T=250/40=25/4\,\text{h}$. Así pues el dominio de definición de la función $f(t)$ es $$\text{Dom}\,f(t)=[0,25/4]\,\text{h}$$

Para determinar los extremos de crecimiento/decrecimiento de $f(t)$, calcularemos primero los extremos relativos de dicha función, cuya condición necesaria es $$f'(t)=0$$ luego $$50\cdot \dfrac{2t-8}{2\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|}=0 \Leftrightarrow 2t-8=0 \Rightarrow t^*=4\,\text{h}$$

Veamos la naturaleza del único extremo relativo que hemos encontrado. Para ello utilizaremos el criterio del cambio de signo de la primera derivada para las abscisas próximas a la de dicho extremo relativo, de izquierda a derecha. Vemos que $f'(3\prec 4) \prec 0$ y $f'(5\succ 4) \succ 0$, luego podemos afirmar que $t^*=4\,\text{h}$ es la abscisa de un mínimo relativo (local). De lo cual se desprende que los intervalos de crecimiento decrecimiento son: $I^{\uparrow}=[4,25/4]$ y $I^{\downarrow}=[0,4]$ ( en horas ).

c)
Por lo que acabamos de decir, la función distancia $f(t)$ presenta un mínimo relativo ( que es, también, el mínimo absoluto ) en $t=4\,\text{h}$ y el valor de dicho mínimo (sustituyendo $t$ por el valor $4$ en la función) es $f(4)=150\,\text{km}$

Por otra parte $f(0)=250\,\text{km}$ y $f(25/4)=375/2=187,5\prec 250\,\text{km}$, luego el máximo absoluto de la función corresponde a $t=0\,\text{h}$ y su valor es igual a $250\,\text{km}$

$\square$