Teorema de Taylor ( fórmula de Taylor ). Resto de Lagrange. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange

En este artículo -- que es una extensión de un artículo precedente en el que se hablaba del polinomio de Taylor $P_{n,a}(x)$ de orden $n$ de una función $f$, en un punto $x=a$ -- hablaremos del teorema de Taylor y, al hilo de este importante resultado, del término adicional, al que llamaremos residuo o término complementario $E_n$, que da cuenta de en qué medida los polinomios de Taylor de grado sucesivo se van aproximando a la función dada $f(x)$, y, hasta qué orden deberíamos llegar para garantizar una precisión fijada de antemano.

Consideremos ahora una función $f(x)$ que admita derivadas sucesivas hasta un cierto orden $n+1$ en un entorno del punto $x=a$, entonces podemos expresar dicha función en la forma de Taylor ( fórmula de Taylor ) $$f(x)=P_{n,a}(x)+E_{n} \quad \quad (1)$$ esto es $$f(x)=f(a)+\dfrac{x-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(x-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$

Se pueden dar distintas expresiones para el resto o término complementario ( o de error ), $E_n$, para adecuarlo de la mejor manera posible al problema de aplicación que se tenga; aquí expondremos el llamado resto de Lagrange.

Teorema ( de Taylor ).
Consideremos un entorno abierto del punto $a$ en la que la función es derivable $n+1$ veces, y sea $b$ un punto del entorno de $a$, entonces podemos escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{b-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(b-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ Siendo $b-a=h$, y por tanto $b=a+h$, podremos también escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{h}{1!}\,f'(a)+\dfrac{h^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{h^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ y demostraremos que el resto -- que denominaremos, de Lagrange -- es igual a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\; \text{donde}\; c\in (a,b)$$

Demostración.
Consideremos la función ( de variable $t$ ), definida de tal manera que tome los mismos valores en $t=a$ y en $t=b$ $$\Phi(a)=\Phi(b)=f(b)$$ tal como $$\Phi(t)\overset{\text{def}}{=}f(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f'(t)+\dfrac{(b-t)^2}{2!}\,f''(t)+\ldots+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n)}(t)+\dfrac{(b-t)^{n+1}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Y, en estas condiciones, siendo por tanto aplicableel teorema de Rolle [ existirá al menos un punto $c \in (a,b)$ para el cual $\Phi'(c)=0$ ] y derivando $\Phi(t)$
    $\Phi'(t)=f'(t)-f'(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)-\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)+\ldots-$
      $-\dfrac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f^{n}(t)+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$
Expresión que, simplificada, resulta $$\Phi'(t)=\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Teniendo en cuenta ahora que en $t=c$ ésta se anula, obtenemos $$\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)=\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{n^{n+1}}\,E_n$$ y por tanto $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)$$

Además, como $c \in (a,a+h)$, podemos expresar $c$ de la forma $c=a+\theta\,h$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, denominamos término complementario de Lagrange a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$ por lo que, teniendo en cuenta (1), podemos escribir lo que denominamos fórmula de Taylor con el término complementario de Lagrange de la forma
$$\displaystyle f(a+h)=f(a)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{h^{i}\,f^{(i)}(a)}{i!}+\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$
$\square$

Coroloario ( fórmula de MacLaurin ).
Si en la fórmula de Taylor con resto de Lagrange hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$

Ejemplo.
Mediante la fórmula de Taylor podemos desarrollar una función derivable $n+1$ veces alrededor de un valor $a$ hasta el orden que convengamos. Por ejemplo, el desarrollo de la función $f(x)=\ln(x+1)$ alrededor de $a=0$ hasta el término de orden $3$ ( término en el que aparece la derivada de tercer orden ) puede comprobarse que resulta ser $$f(x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$ con resto de Lagrange igual a $$E_{3}=-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$ esto es $$f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$
Así, por ejemplo, para $x:=1/2$, obtenemos que $\ln(1/2+1)=\ln(3/2)$, es igual a $$f(1/2)=1/2-\dfrac{(1/2)^2}{2}+\dfrac{(1/2)^3}{3}-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ es decir $$\ln(3/2)=5/12-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ con lo cual hemos obtenido la aproximación $$\ln(3/2)\approx 5/12$$ con la una cota de error dada por el resto de Lagrange, $E_4$; en efecto, como $E_4$ depende de $\theta$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, tomando $\theta:=0$ obtendremos la mayor de las cotas dadas por dicho resto de Lagrange, pues cuánto mayor sea el valor del denominador del resto de Lagrange mayor será la cuantía de dicho resto, la cual toma el valor $$|E_4|_{\theta:=0}=\left|-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+0 \cdot (1/2))^4}\right|=1/64$$

A modo de comprobación, observemos que $$\ln(3/2)-5/12 \approx 0,0112 \prec 0,0156=|E_4|_{\theta:=0}$$