Un ejercicio de análisis de una función real de una variable real

ENUNCIADO. Analizar la función $f(x)=x\,e^{-x^2}$ y representar su gráfica

SOLUCIÓN.
Dominio de definición:
  $(-\infty,+\infty)$
Dominio de continuidad:
  $(-\infty,+\infty)$
Dominio de derivabilidad:
  $(-\infty,+\infty)$

Raíes de $f$ y ordenada en el origen:
  $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$, luego hay una sola raíz y por tanto la gráfica de la función corta al eje de abscisas en un sólo punto: $O(0,f(0))$, esto es, en el origen de coordenadas $O(0,0)$, puesto que la ordenada en el origen $f(0)=0$

La función $f$ es impar, puesto que $f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^2}=-x\,e^{-x^2}=-f(x)$ ( la gráfica es simétrica con respecto del origen de coordenadas )

Extremos relativos:
  La condición necesaria de extremo relativo es $f'(x)=0$, es decir $$(1-2x^2)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x^2=1/2 \Rightarrow x=\left\{\begin{matrix}-1/|\sqrt{2}| \\ \\ 1/|\sqrt{2}|\end{matrix}\right.$$
Para ver el tipo de extremo relativo utilizaremos el criterio del signo de la segundo derivada en las abscisas encontradas. Caculando la segunda derivada encontramos $$f''(x)=2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}$$ y encontramos:
  $f''(-1/|\sqrt{2}|)\succ 0$, luego hay un mínimo relativo en el punto de abscisa $-1/|\sqrt{2}|$
  $f''(1/|\sqrt{2}|)\prec 0$, y por tanto hay un máximo relativo en el punto de abscisa $1/|\sqrt{2}|$

Las ordenadas que corresponden a estas abscisas son $$f(-1/|\sqrt{2}|)=-\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}\; \text{y}\; f(1/|\sqrt{2}|)=\dfrac{1}{|\sqrt{2e}|}$$

Puntos de inflexión:
  En un punto de inflexión se tiene que $f''(x)=0$, luego $$2x\,(2x^2-3)\,e^{-x^2}=0 \Leftrightarrow x=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{-|\sqrt{6}|}{2} \\ \\ 0 \\ \\ \dfrac{|\sqrt{6}|}{2} \end{matrix}\right.$$

y las respectivas ordenadas son: $$f\left(-\dfrac{|\sqrt{6}|}{2}\right)=-\left| \sqrt{ \dfrac{3}{2\,e^3} }\right|\;, f(0)=0\;\text{y}\;f\left(|\dfrac{\sqrt{6}|}{2}\right)=\left|\sqrt{\dfrac{3}{2\,e^3}}\right|$$

Intervalos de crecimiento:
  $I^{\uparrow}=(-1/|\sqrt{2}|,1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
Intervalos de decrecimiento:
  $I_{1}^{\downarrow}=(-\infty,-1/|\sqrt{2}|) \subset \mathbb{R}$
  $I_{2}^{\downarrow}=(1/|\sqrt{2}|,+\infty) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de concavidad:
  $J_{1}=(-\infty, -|\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$
  $J_{2}=(0, |\sqrt{6}|/2) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de convexidad:
  $J_{3}=(-|\sqrt{6}|/2,0) \subset \mathbb{R}$
  $J_{4}=(|\sqrt{6}|/2,+\infty) \subset \mathbb{R}$

Asíntotas:
  No hay asíntotas verticales, pues no existe ningún $a \in \mathbb{R}$ para el cual $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=\pm\,\infty$
  Veamos si hay asíntotas oblicuas: $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$
    i) $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,e^{-x^2}=e^{-\infty}=0$
    ii) $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)-0 \cdot x=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f(x)=0$
      Así pues, la función $f$ tiene una sóla asíntota, que, en particular, es horizontal: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$


Con todos estos elementos podemos representar la gráfica de la función:

$\square$