Un ejercicio de cálculo de integrales indefinidas ( cálculo de primitivas )

ENUNCIADO. Calcúlense las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx$
b) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx=$
  $=\displaystyle \int\,-\dfrac{1}{2}\,d(e^{-x^2})\,dx$, habida cuenta de que $\left( e^{-x^2} \right)'=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-2x\,e^{-x^2}$
    $=-\dfrac{1}{2}\,e^{-x^2}+C$

b)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx=$ ( Inegrando por partes: $u=x \Rightarrow dx=du$, $e^{-x}\,dx=dv \rightarrow v=-e^{-x} \rightarrow \int\,udv=uv -\int\,vdu$ )
  $=\displaystyle=-x\,e^{-x}-\int\,(-e^{-x})\,dx$
    $=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C$
      $=-e^{-x}\,(x+1)+C$

$\square$