Un ejercicio en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Dadas las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=z$ y la recta $s$ que pasa por el punto $(2,-5,1)$ y tiene dirección $(-1,0,-1)$, se pide:
a) Estúdiese la posición relativa de las dos rectas
b) Determínese un plano que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$
c) Determínese un plano perpendicular a la recta $r$ y que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a) Un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}_r=(2,-2,1)$, lo cual deduciomos de interpretar los denominadores de la ecuación de $r$ en forma continua que viene dada en el enunciado $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{-2}=\dfrac{z-0}{1}$; por otra parte, como un punto de dicha recta es $P_{r}(1,3,0)$, un vector que apunta de dicho punto de $r$ a un punto de $s$ tal como $P_{s}(2,-5,1)$ ( dado en el enunciado ) es $\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(2-2,-5-(-2),1-1)=(0,-3,0)$.

Estudiaremos la posición relativa de $r$ y $s$ a partir del estudio del rango del conjunto de vectores $\{\vec{u}_{r}=(2,-2,1),\vec{u}_{s}=(-1,0,-1),\overset{\rightarrow}{P_{r}\,P_{s}}=(0,-3,0)\}$, el cual viene dado por el rango de la matriz que formamos disponiendo las coordenadas de dichos vectores en filas o en columnas ( los dispondremos en filas ): $$\begin{pmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{pmatrix}$$ El rango de dicha matriz es $3$ puesto que su determinante es distinto de $0$ $$\begin{vmatrix}2&-2&1\\-1&0&-1\\0&-3&0\end{vmatrix}=-3\cdot (-1)^{3+2}\,\begin{vmatrix}2&1\\-1&-1\end{vmatrix}=3\cdot (2\cdot (-1)-(-1)\cdot 1)=-3\neq 0$$ de lo cual deducimos que las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

b) Un plano $\pi$ que sea paralelo a $r$ y que contenga a $s$ viene caracterizado por un vector perpendicular al mismo, tal como $\vec{n}_{\pi}:=\vec{u}_{r} \times \vec{u}_{s}$, además de por un punto de dicho plano, que, al incluir a la recta $s$, es, por ejemplo, el punto $P_{s}(1,3,0)$

Entonces, $\vec{n}_{\pi}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-2&1\\-1&0&-1\end{vmatrix}=(2,1,-2)$, donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica de $\mathbb{R}^3$ ( a los cuales se refieren las coordenadas de los datos del problema ). A partir de las coordenadas del vector perpendicular al plano que acabamos de encontrar, sabemos que los coeficientes $A,B$ y $C$ de la ecuación del plano en forma general $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ corresponden a las coordenadas del mismo: $A=2$, $B=1$ y $C=-2$; así que, podemos escribir que $\pi \equiv 2x+y-2z+D=0$. Determinamos $D$ teniendo en cuenta que $P_{s} \in \pi$, con lo cual $2\cdot 2+(-5)\cdot 1 -2\cdot 1+D=0 \Rightarrow D=3$, en consecuencia la ecuación del plano pedido es: $$\pi \equiv 2x+y-2z+3=0$$

c)
Denotemos por $\sigma$ al plano pedido ( perpendicular a $r$ y que pase por $O(0,0,0)$ ) y por $\vec{n}_{\sigma}$ un vector perpendicular a dicho plano; entonces podemos tomar $\vec{n}_{\sigma}:=\vec{u}_{r}=(2,-2,1)$, con lo cual $\sigma\equiv 2x-2y+z+D=0$; y, como, $O(0,0,0)\in \sigma$ ha de cumplirse que $2\cdot 0-2\cdot 0+0+D=0\Rightarrow D=0$. En consecuencia, la ecuación del plano pedido es $$\sigma \equiv 2x-2y+z=0$$
$\square$