Otro ejercicio en el espacio euclídeo R^3

ENUNCIADO. Dados el punto $A(2,1,0)$ y el plano $\pi \equiv 2x+3y+4z=36$, se pide:
a) La distancia del punto $A$ al plano $\pi$
b) Hallar las coordenadas del punto del plano $\pi$ más próximo a $A$
c) Hallar el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$

SOLUCIÓN.
a) Es sabido que la distancia euclídea de un punto $A(x_A,y_A,z_A)$ a un plano $\pi\equiv ax+by+cz+d=0$ viene dada por $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|a\,x_A+b\,y_A+c\,z_A\right|}{\left|\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right|}$$ entonces, con los datos del enunciado, $$\text{dist}(A,\pi)=\dfrac{\left|2\cdot 2+3\cdot 1+0\cdot 4-36\right|}{\left|\sqrt{2^2+3^2+4^2}\right|}=|\sqrt{29}|\,\text{unidades de longitud}$$

b) Sea el punto $X(x,y,z)$ de $\pi$ cuya distancia al punto $A(2,1,0)$ sea mínima, entonces $\overset{\rightarrow}{AX} \perp \pi \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AX} \propto \vec{n}_\pi:=(2,3,4)$, siendo éste un vector perpendicular al plano $\pi$; en consecuencia, $\overset{\rightarrow}{AX}\times \vec{n}_{\pi}=\vec{0}$, y, teniendo en cuenta la definición de producto vectorial y que $\overset{\rightarrow}{AX}=\overset{\rightarrow}{OX}-\overset{\rightarrow}{OA}=(x-2,y-1,z-0)$, podemos escribir esta condición de la forma
$$\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ x-2&y-1&z-0\\ 2& 3& 4\end{vmatrix}=(0,0,0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4(y-1)-3z=0\\2z-4(x-2)=0\\3(x-2)-2(y-1)=0\end{matrix}\right.$$ Estas tres ecuaciones, junto con la ecuación del plano ( pues $X \in \pi$ ), forman un sistema de ecuaciones cuya solución ha de ser el punto pedido: $$\left\{\begin{matrix}2x&+&3y&+&4z&=&36 \\ &&4y&-&3z&=&4 \\ -4x&&&+&2z&=&-8 \\ 3x&-&2y&&&=&4\end{matrix}\right.\overset{\text{Gauss}}{\sim}\left\{\begin{matrix}x=4\\y=4\\z=4\end{matrix}\right.$$

c) El punto hallado en el apartado anterior, $I(4,4,4)$, tiene que ser el punto de intersección del plano $\pi$ con la recta $r$ que pasa por $A(2,1,0)$ y es perpendicular a dicho plano, ya que la distancia entre $I$ y $A$ es mínima y por tanto $\overset{\rightarrow}{AI} \perp \pi$. Denominemos $A'\in r$ al punto simétrico de $A$ con respecto a $\pi$, entonces deberá cumplirse que $$\overset{\rightarrow}{AA'}=2\,\overset{\rightarrow}{AI}$$ esto es $$(x_{A'}-2,y_{A'}-1,z_{A'}-0)=2\,(4-2,4-1,4-0)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_{A'}=6\\y_{A'}=7\\ z_{A'}=8\end{matrix}\right.\rightarrow A'(6,7,8)$$
$\square$