Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ 3x&+&4y&+&5z&=&5 \\ 7x&+&9y&+&11z&=&a \end{matrix}\right.\;,\; \text{siendo}\; a\; \text{un parámetro real}$$ Se pide:
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente

SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.

Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:

  Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

  Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible

b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.

Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$

c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.

Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
$\square$