Método básico para el cálculo del polinomio interpolador de grado n ( conocidas las coordenadas de un conjunto de n+1 puntos )

Consideremos que tenemos $n+1$ valores de una función polinómica de grado $n$, $f(x)=a_0+a_a\,x+a_2\,x^2+\ldots+a_n\,x^n$, cuyos coeficientes $a_0,a_1,\ldots,a_n$ son desconocidos. Y supongamos que conocemos $n+1$ puntos de la gráfica de la función de $f(x)$: $(x_i,f(x_i)$ para $i=0,1,2,\ldots,n$. Entonces podemos calcular los coeficientes imponiendo que la función satisfaga las siguientes $n+1$ condiciones $$\left\{ \begin{matrix}a_0+a_1\,x_0+a_2\,x_{0}^2+\ldots+a_{n+1}\,x_{0}^{n+1}&=&f(x_0) \\ a_0+a_1\,x_1+a_2\,x_{1}^2+\ldots+a_{n+1}\,x_{1}^{n+1}&=&f(x_1) \\ \ldots \\ a_0+a_1\,x_{n+1}+a_2\,x_{n+1}^2+\ldots+a_{n+1}\,x_{n+1}^{n+1}&=&f(x_{n+1}) \end{matrix}\right.$$ Así pues, para encontrar el polinomio interpolador ( que es único ), debemos resolver este sistema de $n+1$ ecuaciones lineales con $n+1$ incógnitas ( los coeficientes del sistema ).

Escribiendo el sistema en forma matricial $$A\,X=B$$ donde $A$ es la matriz $(n+1) \times (n+1)$de los coeficientes del sistema es $$A=\begin{pmatrix}1 & x_0 & x_{0}^{2} & \ldots & x_{0}^{n}\\ 1 & x_1 & x_{1}^{2} & \ldots & x_{1}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & x_n & x_{n}^{2} & \ldots & x_{n}^{n}\end{pmatrix}$$ $X$ es la matriz $n+1 \times 1$ de las incógnitas y $B$ es la matriz $n+1 \times 1$ de los términos independientes: $$X=\begin{pmatrix}a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ \ldots \\ a_n \end{pmatrix} \quad \quad \quad \quad B=\begin{pmatrix} f(x_0) \\ f(x_1) \\ f(x_2) \\ \ldots \\ f(x_n)\end{pmatrix}$$ Naturalmente, podemos resolverlo por Gauss, o por cualquier otro de los métodos estudiados; como, por ejemplo, por Cramer: $$a_0=\dfrac{\text{det}(A_0)}{\text{det}(A)}\;,\; a_1=\dfrac{\text{det}(A_1)}{\text{det}(A)}\;,\;a_2=\dfrac{\text{det}(A_2)}{\text{det}(A)}\;,\ldots,\;a_n=\dfrac{\text{det}(A_n)}{\text{det}(A)}$$ en el que reconocemos en su forma el determinante de Vandermonde $$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1 & a_0 & a_{0}^{2} & \ldots & a_{0}^{n}\\ 1 & a_1 & a_{1}^{2} & \ldots & a_{1}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & a_n & a_{n}^{2} & \ldots & a_{n}^{n}\end{vmatrix}$$
siendo
$$\text{det}(A_0)=\begin{vmatrix}f(x_0) & a_0 & a_{0}^{2} & \ldots & a_{0}^{n}\\ f(x_1) & a_1 & a_{1}^{2} & \ldots & a_{1}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f(x_n) & a_n & a_{n}^{2} & \ldots & a_{n}^{n}\end{vmatrix}$$
$$\text{det}(A_1)=\begin{vmatrix}1 & f(x_0) & a_{0}^{2} & \ldots & a_{0}^{n}\\ 1 & f(x_1) & a_{1}^{2} & \ldots & a_{1}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & f(x_2) & a_{n}^{2} & \ldots & a_{n}^{n}\end{vmatrix}$$
$$\text{det}(A_2)=\begin{vmatrix}1 & a_0 & f(x_0) & \ldots & a_{0}^{n}\\ 1 & a_1 & f(x_1) & \ldots & a_{1}^{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & a_n & f(x_n) & \ldots & a_{n}^{n}\end{vmatrix}$$
$$\vdots$$
$$\text{det}(A_n)=\begin{vmatrix}1 & a_0 & a_{0}^{2} & \ldots & f(x_0)\\ 1 & a_1 & a_{1}^{2} & \ldots & f(x_1) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & a_n & a_{n}^{2} & \ldots & f(x_n)\end{vmatrix}$$

EJEMPLO. Sean tres puntos del plano cartesiano $A(-2,-1)$, $B(-1,-2)$ y $C(0,-1)$. Se pide:
a) Determinar el polinomio interpolador de segundo grado cuya gráfica pasa por estos tres puntos
b) Considerando un punto $P$ cuya abscisa es igual a $\dfrac{2}{3}$, ¿ cuál es la ordenada que le corresponde por interpolación ?

SOLUCIÓN.
a) La función interpoladora ( polinomio interpolador, de segundo grado en este caso, ya que contamos con 2+1 puntos de su gráfica ) tiene la forma $f(x)=a_0+a_1\,x+a_2\,x^2$. Para determinar el valor de los coeficientes $a_0,a_1$ y $a_2$, impondremos que la ecuación se cumpla para cada uno de los puntos ( método de los coeficientes indeterminados ). Así:
$$\left.\begin{matrix}A:&a_0+a_1\cdot (-2)+a_2 \cdot (-2)^2&=&-1 \\ B:&a_0+a_1\cdot (-1)+a_2 \cdot (-1)^2&=&-2 \\ C:&a_0+a_1\cdot 0+a_2 \cdot 0^2&=&-1 \end{matrix}\right\}$$ esto es
$$\left.\begin{matrix}a_0&+&-2\,a_1&+&4\,a_2 &=&-1 \\ a_0&-&a_1&+&a_2&=&-2 \\ a_0&&&&&=&-1 \end{matrix}\right\}$$

Entonces, empleando alguno de los métodos conocidos, pongamos que el de Cramer ( para ilustrar o dicho arriba, aunque en este caso tan sencillo, sería incluso más rápido si empleásemos el de Gauss ):

$$a_0=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-2&4\\-2&-1&1\\-1&0&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&4\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}}=-1$$

$$a_1=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-1&4\\1&-2&1\\1&-1&0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&4\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}}=2$$

$$a_2=\dfrac{\begin{vmatrix}-1&-2&-1\\-2&-1&-2\\-1&0&-1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&-2&4\\1&-1&1\\1&0&0\end{vmatrix}}=1$$

Por consiguiente, el polinomio interpolador es $$f(x)=x^2+2x-1$$

El siguiente gráfico muestra los tres puntos dados y la función que acabamos de deducir:

b)
Sustituyendo la variable independiente por el valor dado,
$$f(2/3)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+2\cdot \dfrac{2}{3}-1$$
y operando llegamos al valor pedido $$f(2/3)=\dfrac{7}{9}$$ luego las coordenadas del punto pedido son $$P\left( \dfrac{2}{3},\dfrac{7}{9}\right)$$
$\square$