Cálculo de probabilidades. Distribución binomial y distribución normal.

ENUNCIADO. La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de $5$ años es del $10\,\%$. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos $10$ peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de $5$ años
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay $200$ peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de $5$ años hayan sobrevivido al menos $10$ de ellos

SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de peces que han sobrevivido más de 5 años". Es claro que $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, donde la probabilidad de éxito es $p=0,1$

a) La probabilidad de que sobrevivan al menos $2$ peces es:

$P\{X \ge 2\}=1-P\{X \le 1\} =1-( P\{X=0\} + P\{X=1\})=$

  $\displaystyle =1- \left( 0,9^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0,1^{1}\cdot 0,9^{9} \right) \approx 0,2639$

b)
Ahora; $n:=200$, que por su magnitud es necesario aproximar, si es posible, la distribución binomial de $X$, $B(n,p)$, por una d. normal $Y$, $N(\,np, \sqrt{np(1-p})\,)$. Veamos si es razonable hacerlo: como $n\cdot p = 200\cdot 0,10 = 20 \succ 5$, sí lo es.

Teniendo en cuenta que la media es $\mu=np=200\cdot 10=20$ y la desviación estándar $\sigma=\sqrt{200\cdot 0,1\cdot 0,9} \approx 4,24$, podemos escribir:

$P\{X\ge 10\} \approx P\{Y \ge 10-0,5\}=$ ( aplicamos también la corrección de continuidad de Yates )

  $=P\{Y \ge 9,5\}$

    $=P\{Z \ge \dfrac{9,5-20}{4,24}\approx -2,48\}$ ( tipificación $Y \rightarrow Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$, que es $N(0,1)$, para poder así usar las tablas de dicha función de distribución )

      $=1-P\{Z \le -2,48\}$

        $=1-P\{Z \ge 2,48\}$

          $=1-( 1- P\{Z \le 2,48\} )$

            $=P\{Z \le 2,48\}$

              $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0,9934 \approx 99\,\%$

$\square$