Integración numérica por el método de Simpson

En el artículo anterior hablaba del método de los trapecios para integrar de forma numérica ( aproximada ). En este artículo voy a hablaros del método de Simpson, consistente en interpolar un segmento de parábola en cada terna de puntos conocidos de la función integrando.

Con dicho método podemos aumentar la precisión de los datos obtenidos con respecto al método de los trapecios, pues en principio se ajusta mejor un segmento de parábola a el segmento de curva de la función a integrar que un segmento rectilíneo.

Recordemos que el objetivo de la integración numérica consiste en calcular $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$$ Supondremos que la función del integrando $f(x)$ es positiva en todo el dominio de integración.

Para empezar, sustituiremos el arco de curva asociada a la función $f(x)$ entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ por un segmento de parábola que pase por los puntos de abscisas $a$, $b$ y $m=\dfrac{a+b}{2}$ ( la abscisa del punto medio del intervalo $[a,b]$. Denotaremos por $\Phi$ a la función cuadrática asociada a dicho segmento de parábola; por consiguiente, ésta ha de ser de la forma $$\Phi(x)=Ax^2+Bx+C$$

Y, por consiguiente, $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$ que es más fácil intengrar que la función pedida.

Démonos cuenta de que hay que resolver un problema de interpolación cuadrática; beberemos pues determinar el valor de los coeficientes $A$, $B$ y $C$, imponiendo que los puntos $(a,f(a))$, $(b,f(b)$ y $(m, f(m)$ estén sobre la parábola dada por $\Phi(x)$

Ejemplo. Apliquemos el método de Simpson al cálculo de la integral
$$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx$$

Tal como hemos dicho, nos proponemos calcular una función polinómica de segundo grado $\Phi=Ax^2+Bx+C$, cuya gráfica pase por los puntos de abscisas $1$, $2$ y $\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$ para realizar la aproximación $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$

Calculemos pues los coeficientes del polinomio interpolador:
Como $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{1}=1^2\cdot A+1\cdot B+C$$

Lo mismo con el punto $B(2,\sqrt{2})$: tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{2}=2^2\cdot A+2\cdot B+C$$

Al igual que $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{3/2}=(3/2)^2\cdot A+(3/2)\cdot B+C$$

Así que, resolviendo el sistema de ecuaciones, podremos conocer el valor de $A$, $B$ y $C$:
$$\left\{\begin{matrix}A&+&B&+&C&=&1\\ 4A&+&2B&+&C&=&\sqrt{2} \\ \dfrac{9}{4}\,A&+&\dfrac{3}{2}\,B&+&C&=&\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}A&&&&&\approx &-0,0706\\ &&B&&&\approx & 0,6259\\ &&&&C&\approx &0,4447\end{matrix}\right. $$

Nota. Otra forma de calcular $\Phi(x)$ pasa por utilizar el poliomio interpolador de Lagrange o el de Newton, de los cuales ya he hablado en otros artículos de este mismo blog.

Así, podemos escribir $$\Phi(x) = -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447$$

Por consiguiente,
$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{1}^{2}\,( -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447 )\,dx=$
    $=\left[ -\dfrac{0,0706}{3}\,x^3+\dfrac{0,6259}{2}\,x^2+0,4447\,x \right]_{1}^{2} = 1,2188$
      $= 1,2188$

Calculemos el error relativo de esta aproximación y veremos que es aceptablemente pequeño. Tengamos en cuenta que el valor exacto de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx=\left[ \dfrac{1}{2\,\sqrt{x}} \right]_{1}^{2}=1,2190$$ ( aproximando el resultado exacto con cuatro cifras decimales )

Entonces $$e=\dfrac{|1,2190-1,2188|}{1,2190} \approx 0,02\,\%$$

Observación.Dividiendo el intervalo $[a,b]$ en varios subintervalos y empleando la misma idea en cada subintervalo, conseguiremos aumentar mucho más la precisión en el cálculo numérico de la integral pedida. Denominamos a la regla que así se obtiene regla de Simpson compuesta. Podéis profundizar en ello en el siguiente artículo de Wikipedia.
$\square$