Integración numérica por la regla de los trapecios

Consideremos la integral definida $\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)$ es positiva en todos los puntos del dominio de integración. Una manera sencilla de calcular dicha integral de forma numérica consiste en sustituir el arco de curva entre los puntos $A_{1}(a,f(a))$ y $A_{2}(b,f(b))$ por un segmento rectilíneo con esos mismos extremos, con lo cual el valor de la integral definida ( área delimitada entre la curva, el eje de abscisas, y las rectas paralelas al eje de ordenadas $x=a$ y $x=b$ ) es aproximadamente igual al área del trapecio rectángulo así formado, por lo que podemos escribir $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{b-a}{2}\cdot (f(b)+f(a))$$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{2-1}{2}\cdot (2^2+1^2)=\dfrac{5}{2}$$ siendo el valor exacto de la integral $$\displaystyle \int_{2}^{1}\,f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot ( 2^3-1^3)=\dfrac{7}{3}$$ Podemos así calcular el error absoluto cometido en la aproximación, $$E=|\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}|=\dfrac{1}{6}$$ y también el error relativo $$e=\dfrac{1/6}{7/3}=\dfrac{1}{14}\approx 7\,\%$$

Es evidente que nn modo sencillo de aumentar la precisión de la aproximación consiste en dividir el dominio de integración en un cierto número de subintervalos; cuántos más subintervalos consideremos, menor será el error cometido. Este método se denomina método de los trapecios ( o regla compuesta del trapecio ).

Por simplicidad, haremos que la longitud, $h$, de los $n$ subintervalos ( separados $n+1$ puntos ) en que dividimos el intervalo $[a,b]$ sea la misma, con lo cual $$h=\dfrac{b-a}{n}$$

Si, por ejemplo, consideramos $2$ subintervalos, vemos que $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \dfrac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\cdot \dfrac{f(a+h)+f(b)}{2}$$ esto es $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a) + 2\,f(a+h)+f(b) \right)$$

Calculemos ahora la integral aproximada, con $n=2$ subintervalos y por tanto con $h=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$. Así, $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{1/2}{2}\cdot \left(1^2+2\cdot (1+1/2)+2^2\right)=\dfrac{19}{8}$$

El error absoluto es ahora igual a $$E=|\dfrac{19}{8}-\dfrac{7}{3}|=\dfrac{1}{24}$$ y el error relativo es de $$e=\dfrac{1/24}{7/3}\approx 2\,\%$$ que es lógicamente menor que el que habíamos obtenido con un sólo intervalo.

-oOo-Con $n=3$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{3}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h) \right)$$

Con $n=4$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{4}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+2\,f(a+3h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h)+f(a+3\,h) \right)$$

Por lo que, a partir de aquí, para un número $n\ge 1$ arbitrario de intervalos, es fácil generalizar la fórmula anterior, a la llamada fórmula de los trapecios:
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,f(a+i\,h) \right)$$

Observación. Si bien no vamos a ahondar más en el tema, cuando curséis asignaturas de grado en la universidad podréis leer en los libros de análisis numérico la justificación de la siguiente fórmula, que proporciona una estimación del error absoluto cometido en la aproximación empleando la fórmula de los trapecios: $$\Delta=\left|-\dfrac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\theta)\right|\; \text{donde}\; \theta\; \text{es un número que está comprendido entre}\;a\;\text{y}\;b$$

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