Un ejercicio sobre los teoremas de la probabilidad total y de Bayes

ENUNCIADO. Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un $80\,\%$ de los casos. Si un enfermo es tratado con placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del $10\,\%$. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo. Se pide:
a) Calcúlese la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado
b) Si de un paciente elegido al azar se sabe que ha mejorado, hállese la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento

SOLUCIÓN.
En referencia al paciente elegido al azar, denotemos por $A$ al suceso "ser tratado con medicamento"; por $B$, al suceso "ser tratado con placebo", y por $M$ al suceso "experimentar mejora".

a)
Los sucesos $A$ y $B$ constituyen un conjunto completo de sucesos, pues son disjuntos y el espacio muestral $\Omega$ es la unión de los dos ( decimos que $A$ y $B$ son una partición de $\Omega$ ). Observemos la siguiente figura:

Como $M=(M\cap A)\cup (M \cap B)$ y los sucesos $M\cap A$ y $M\cap B$ son incompatibles, esto es $(M\cap A)\cap (M\cap B)=\emptyset$, entonces podemos escribir $$P(M)=P(M\cap A) + P(M\cap B)$$ Teniendo en cuenta la fórmula de la probabilidad condicionada $$P(M)=P(M|A)\cdot P(A)+P(M|B)\cdot P(B)$$ y, con los datos del problema llegamos a la expresión de la probabilidad total ( teorema de la probabilidad total ) $$P(M)=\dfrac{80}{100}\cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{100}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}=45\,\%$$

b)
Como $P(A \cap M) = P(M \cap A)$ tenemos que $P(A|M)\cdot P(M)=P(M|A)\cdot P(A)$, de donde se deduce ( teorema de Bayes ): $$P(A|M)=\dfrac{P(M|A)\cdot P(A)}{P(M)}$$ Sustituyendo los datos y el resultado anterior: $$P(A|M)=\dfrac{(8/10)\cdot (1/2)}{9/20}=\dfrac{8}{9}\approx 89\,\%$$

-oOo-
Nota 1: Podemos resolver también el problema con la ayuda de la tabla de contingencia:

Nota 2: También puede ser útil el siguiente diagrama de árbol

$\square$