Un ejercicio de álgebral lineal

ENUNCIADO. Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$ y una matriz cuadrada $B$, de orden $3$, tal que $B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:

a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro $a$, y, de ser posible, calcúlese el valor de $\text{det}(2\,A^{-1})$ para $a:=1$
b) Resuélvase la ecuación $A\,\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ para $a:=-1$
c) Compruébese que $B$ es inversible y calcúlense determínense los coeficientes $m$ y $n$ tales que $B^{-1}=m\,B+n\,I$

SOLUCIÓN.
a.i) Reduciendo por Gauss, obtendremos matrices equivalentes en rango:
$\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix} \;\begin{matrix}\\ 2\,f_1+f_2\, \rightarrow f_2\\ 3f_1+f_3 \,\rightarrow f_3 \end{matrix}\; \sim\; \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2a+2\\0&a-1&4a\end{pmatrix} \sim$
  $\begin{matrix}\\ \\ -(a-1)f_2+(a+1)f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2(a+1)\\0&0&2(a+1)^2\end{pmatrix} \sim$
  $\begin{matrix}\\ f_2/(a+1)\rightarrow f_2 \\ f_3/(a+1)\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&2\\0&0&2(a+1)\end{pmatrix}$

de donde es claro que:
  I) Si $a=-1$, $\text{rango}(A)=2$
  II) Si $a\neq-1$, $\text{rango}(A)=3$

a.ii) Del caso (II), deducimos que siendo $a:=1\neq -1$, $\text{rango}(A)=3$ que es igual al orden de la matriz, luego ésta es regular y por tanto inversible ( tiene asociada matriz inversa, que es única ).

Por otra parte, es sabido que $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$. En efecto, el determinante de dos matrices regulares es igual al producto de sus determinantes; en particular, como $A\,A^{-1}=I$, tenemos que $\text{det}(A)\cdot \text{det}(A^{-1})=\text{det}(I)$ y como $\text{det}(I)=1$, despejando $\text{det}(A^{-1})$ se obtiene $$\text{det}(A^{-1})=1/\text{det}(A)$$

Entonces, $$\text{det}(2\,A^{-1})=2\cdot\text{det}(A^{-1})=2\cdot \dfrac{1}{\text{det}(A)}=2\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$$

puesto que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&0&1\\ -2&2&2\\ -3&0&1\end{vmatrix}\overset{\text{d. de Laplace por la 2º col.}}{=}2\cdot (-1)^{2+2}\,\begin{vmatrix}1&1 \\ -3&1\end{vmatrix}=8$

b)
Como para $a=-1$ estamos en el caso (I) del primer apartado, sabemos que $\text{rango}(A)=2$. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada con los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales (reduciendo por Gauss):
$\text{rango}(A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ -2&0&2&2\\-3&-2&-1&0\end{array}\right) \begin{matrix}\\ 2f_1+f_2\,\rightarrow f_2 \\ 3\,f_1+f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&0&0&0\\0&-2&-4&-3\end{array}\right)\sim$
$\begin{matrix}\\ f_2 \leftrightarrow f_3 \\ \end{matrix} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&-2&-4&3\\0&0&0&0\end{array}\right)=2$

Al tener ambos rangos el mismo valor, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, y según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible; por otra parte al ser dicho rango $r=2\prec n=3$ ( donde $n$ es el número de ecuaciones del sistema ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.

Al tener ya reducida por Gauss la matriz ampliada, podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente: $$\left\{\begin{matrix}x-y=-1\\-2y-4z=3\end{matrix}\right.\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\y+2z=3/2\end{matrix}\right.$$ Designando por $\lambda$ a la variable secundaria, para la cual elegiremos $z$, obtenemos la solución, que está formada por infinitas ternas: $$\{(x,y,z)=(1/2-2\,\lambda,3/2-2\,\lambda,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
que también podemos expresar de la forma
$$\{(x,y,z)=(1-4\,\lambda,3-4\,\lambda,2\,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$

c)
$B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
  $B\,B=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
    $B^{-1}\,B\,B=B^{-1}\,(\dfrac{1}{3}\,I-2\,B)$
      $B^{-1}\,B\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
        $(B^{-1}\,B)\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
          $I\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I$
            $B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I \Rightarrow \dfrac{1}{3}\,B^{-1}=B+2\,I \Rightarrow B^{-1}=3\,(B+2\,I)$

Por otra parte, si $B^{-1}=m\,B+n\,I$, entonces $$B^{-1}=m\,B+n\,I = 3\,(B+2\,I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,B=m\,B \Rightarrow m=3 \\ 6\,I=n\,I \Rightarrow n=6\end{matrix}\right.$$


$\square$