Un ejercicio de integración y análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$, se pide:
a) Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva de $f(x)$
b) Encuéntrese un punto de la curva $y=f(x)$ en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analícese si dicho punto es extremo relativo.
c) Calcúlese el área del recinto acotado limitado por la curva $y=f(x)$ y las rectas $y=0$ y $x=e$

SOLUCIÓN.
a)
Si existen asíntotas horizontales, éstas tendran pendiente nula, por lo que podemos encontrarlas mediante el procedimiento más general de encontrar asíntotas oblicuas ( $y=mx+k$ [1]) con $m=0$. Sabemos que $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,f'(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{f(x)}{x}$, haciendo tender la variable de control del límite a $+\infty$ por estar definida dicha función $f(x)$ en $(0,+\infty)$

Entonces, $\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x^2}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{2x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{2x^2}=\dfrac{1}{+\infty}=0$, por lo que podemos asegurar que la función $f(x)$ tiene una asíntota horizontal ( no tiene asíntotas oblicuas con $m\neq 0$ ).

Una vez conocido el valor de $m$, el término independiente de [1] viene dado por el valor del límite $\displaystyle k=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(f(x)-m\,x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(\dfrac{\ln\,x}{x}-0\cdot x)=$
$=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{\ln\,x}{x}\overset{[\text{ind. del tipo}\,\infty/\infty\,,\,\text{L'Hôpital}]}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/x}{1}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

Así pues, de [1], la ecuación de la única asíntota horizontal que tiene la función es $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
La condición necesaria que tiene que cumplir un extremo relativo es $f'(x)=0$, luego procedamos a encontrar extremos relativos, pues en estos puntos la pendiente de la recta tangente a la curva de $f(x)=0$ ha de ser $0$. Calculemos la función derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\left( \dfrac{\ln\,x}{x} \right)'=\left( x^{-1}\,\ln\,x \right)'=-1\cdot x^{-2}\,\ln\,x+\dfrac{1}{x}\,x^{-1}=\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}$$ y $$\dfrac{1-\ln\,x}{x^2}=0\Leftrightarrow x^{*}=e$$ por consiguiente, en el punto $(e,f(e))$ la recta tangente a la curva $f(x)$ es paralela al eje de abscisas ( tiene pendiente nula ).

c) $\displaystyle \text{Área}=\left| \int_{r}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx \right|$, donde $r$ es la raíz de $f(x)$, cuyo valor es $r=1$, ya que $\dfrac{\ln\,x}{x}=0 \Leftrightarrow x=1$. La siguiente figura ilustra la situación:

Así pues $$\displaystyle \text{Área}=\int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx\overset{\text{Barrow}}{=}F(e)-F(1)\quad \quad [1]$$ donde una función primitiva $F(x)$ de $f(x)=\dfrac{\ln\,x}{x}$ la obtenemos del cálculo de la integral indefinida $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,x}{x}\,dx = \dfrac{1}{2}\,\int\,d\left((\ln\,x)^2\right)^\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2+C$, con lo cual, tomando $F(x)=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,x)^2$, encontramos ( de [1] ) que el área pedida es igual a $$\displaystyle \int_{1}^{e}\,\dfrac{f(x)}{x}\,dx=\dfrac{1}{2}\,(\ln\,e)^2-\dfrac{1}{2}\,(\ln\,1)^2=\dfrac{1}{2}\cdot 1 -\dfrac{1}{2}\cdot 0 = \dfrac{1}{2}\,(\text{unidades de longitud})^2$$
$\square$