Combinaciones monarias, binarias y ternarias con repetición de los elementos del conjunto $\{a,b,c,d\}$

ENUNCIADO. Escribir todas las combinaciones monarias, binarias y ternarias con repetición de los elementos del conjunto $\{a,b,c,d\}$ y calcular el número de las mismas.

SOLUCIÓN.
Combinaciones monarias con repetición.
Es evidente que las combinaciones monarias ( de orden $1$ ) con repetición coinciden con los elementos del conjunto dado, y por tanto $\displaystyle \text{CR}_{1,4}=\binom{1+4-1}{4-1}=\binom{4}{3}=4$, que son $\{a,b,c,d\}$

Combinaciones binarias con repetición.
Las combinaciones binarias ( de orden $2$ ) con repetición se obtienen a partir de las monarias ( de orden $1$ ), escribiendo a la derecha de cada una el último elemento y cada uno de los que le siguen en el orden natural, esto es:

{
aa ab ac ad
   bb bc bd
      cc cd
         dd
}

cuyo número es $10$ y que, sin recurrir al principio de recuento aditivo, se puede calcular de la forma $\displaystyle \text{CR}_{2,4}=\binom{2+4-1}{4-1}=\binom{5}{3}=10$


Combinaciones ternarias con repetición.
Las combinaciones ternarias ( de orden $3$ ) con repetición se obtienen a partir de las binarias ( de orden $2$ ), escribiendo a la derecha de cada una el último elemento y cada uno de los que le siguen en el orden natural, esto es:

{
aaa aab aac aad        bbb bbc bbd        ccc ccd         dd 
    abb abc abd            bcc bcd            cdd  
        acc acd                bdd
            add
}

cuyo número es $20$ y que, sin recurrir al principio de recuento aditivo, se puede calcular de la forma $\displaystyle \text{CR}_{3,4}=\binom{3+4-1}{3}=\binom{6}{3}=20$

Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $k$ clases, $CR_{k,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$ $\square$

¿ De cuántas maneras podemos distribuir m lápices iguales entre k personas ?

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $m$ lápices iguales entre $k$ personas ( o $m$ bolas iguales en $k$ urnas ) ?

SOLUCIÓN. Planteémonos primero un problema parecido, pero con números concretos y no muy grandes, para que no sea demasiado difícil establecer, luego, una generalización del resultado que vamos a encontrar. Pongamos que queremos distribuir tres lápices entre dos personas, $P_1$ y $P_2$. Podemos elaborar la siguiente codificación:

=========
|P_1|P_2|
=========
[xxx|   ] 
[   |xxx]
[ xx|  x]
[x  | xx]

Démonos cuenta de que al ser los lápices iguales, no importa el orden en que coloquemos en una misma celda de la tabla, por ello podemos decir que estamos abordando un problema de combinaciones, que no de variaciones, dada la irrelevancia del orden dentro de una misma celda. Por otra parte, elegida una cierta persona para asignar un lápiz, nada nos impide volver a elegirla para asignar otro lápiz, con lo cual el problema en cuestión es de combinaciones con repetición.

Construida la tabla, con todos los casos, podemos hacer fácilmente el recuento aditivo de todas las disposiciones, dando un total de $4$. Ahora bien, no podemos contentarnos con eso, pues si aumentamos el número de lápices o el número de personas, este tipo de recuento resultará inviable. Observemos que la codificación empleada nos hace pensar en el problema de formar "palabras" de $3+2-1$ símbolos: tres "x", y un separador "|" ( uno menos que el número de espacios a rellenar con los tres símbolos "x" ); así que, bien pensado, entendemos ahora de dónde sale el resultado obtenido. Como entre los $3+2-1$ símbolos que hay que forman cada "palabra" ( léase fila de la tabla ) debe haber necesariamente $3$ cruces y $2-1$ barras separadoras tendremos el siguiente número de disposiciones $$\dfrac{(3+(2-1))!}{3!\cdot (2-1)!}=4$$
En consecuencia, la generalización de ésto es inmediata: si se trata de distribuir $m$ lápices iguales entre $k$ personas ( o análogamente, pongamos que, querramos ubicar $m$ bolas iguales en $k$ urnas ), el número de maneras de hacerlo habrá de ser igual a $$\dfrac{(m+(k-1))!}{m!\cdot (k-1)!}$$ lo cual podemos expresarlo como un número combinatorio $$\binom{m+k-1}{m}$$ o lo que es lo mismo -- por las propiedades de dichos números -- podemos escribir también que el resultado es igual a $$\binom{m+k-1}{k-1}$$

Así pues, es ésta la solución a cualquier problema de combinaciones con repetición, de $m$ elementos y de orden $k$, pues representa el número de agrupaciones que se pueden formar tomando $k$ de dichos elementos iguales o distintos y considerando que dos agrupaciones son distintas cuando difieren en algún elemento. En algunos libros se suele notar de la forma $\text{CR}_{k,m}$ o incluso también así $\text{CR}_{k}^{m}$ En resumen,la siguiente expresión resuelve el problema de las combinaciones con repetición de $k$ objetos tomados en grupos de $m$: $$\displaystyle \text{CR}_{k,m}\equiv\binom{k+m-1}{m}=\binom{k+m-1}{k-1}$$

Observación. Si pretendemos aplicar las fórmulas sin mucha reflexión ( lo cual no es acosejable en absoluto ), en estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices ( o las bolas ), sino las personas ( o las urnas ), y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas ( urnas ), sino los lápices ( bolas ), ya que lo que estamos haciendo es asignar urna a cada bola ( o persona a cada lápiz ). Así, por ejemplo, la respuesta a la pregunta ¿ de cuántas maneras podemos repartir $6$ bolas idénticas ( $6$ lápices idénticos ) en $10$ urnas ( entre $10$ personas ) ? es de $\displaystyle \text{CR}_{10,6}\equiv\binom{10+6-1}{6}=\binom{15}{6}=5005$ maneras distintas
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $k$ clases, $CR_{k,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$ $\square$

¿ De cuántas maneras podemos distribuir m lápices distintos entre k personas ( o m bolas distintas entre k urnas ) ?

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $m$ lápices, cada uno etiquetado con un número para poder distinguirlos, entre $k$ personas ?

SOLUCIÓN. Planteémonos primero un problema parecido, con números concretos y que no sean éstos muy grandes, para facilitar la comprensión del resultado que encontraremos sin muchas dificultades. Pongamos que queremos distribuir tres lápices, $\ell_1$, $\ell_2$ y $\ell_3$, entre dos personas. Hay $2$ posibilidades para asignar el lápiz $\ell_1$ ( pues podemos elegir dos personas ); también hay otras $2$ posibilidades a la hora de asignar el segundo lápiz $\ell_2$ ( otra vez podemos elegir a cualquiera de las dos personas ), y, desde luego, también hay $2$ posibilidades cando tenemos que asignar el tercer lápiz $\ell_1$ ( otra vez, cualquiera de las dos personas ). Como dichas elecciones las realizamos independientemente unas de otras, por el principio de independencia hay $2\cdot 2 \cdot 2 =2^3=8$ maneras distintas de distribuir los tres lápices.

Generalizando ahora el el problema, es evidente que el número de maneras de distribuir $m$ lápices distintos entre $k$ personas ( o análogamente, $m$ bolas distintas ( etiquetadas con un número, por ejemplo ) en $k$ urnas ) es $k^m$

Démonos cuenta de que al ser relevante el orden en el reparto ( que consite en asignar una persona a cada lápiz, pudiendo volver a elegir una persona, ya asignada, a otro de los lápices ), estamos ante un problema de variaciones, y al poder repetir ( la persona que se asigna a cada lápiz ), diremos que es un problema de variaciones con repetición, $\text{VR}_{k,m}$ ( que en algunos libros se nota también de la forma $\text{VR}_{k}^{m}$ .

Observación. En estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices, sino las personas, y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas, sino los lápices.

Observación. Si pretendemos aplicar las fórmulas sin mucha reflexión ( lo cual no es acosejable en absoluto ), en estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices ( o las bolas ), sino las personas ( o las urnas ), y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas ( urnas ), sino los lápices ( bolas ), ya que lo que estamos haciendo es asignar urna a cada bola ( o persona a cada lápiz ). Así, por ejemplo, la respuesta a la pregunta ¿ de cuántas maneras podemos repartir $6$ bolas idénticas ( $6$ lápices idénticos ) en $10$ urnas ( entre $10$ personas ) ? es de $\displaystyle \text{VR}_{10,6}=10^6=1\,000\,000$ de maneras distintas $\square$

Integración aproximada. Aproximación de una función que no tiene primitiva elemental por un polinomio de Taylor.

Otro ejemplo en el que nos encontramos con el número pi en el cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Calcular:
$$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx$$


SOLUCIÓN.
Si bien la función $f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ no tiene primitiva elemental, teniendo en cuenta que la función de densidad de la distribución normal ( Gauss ) de parámetros $\sigma$ y $\mu$ es $f(x)=\dfrac{1}{\sigma\,\sqrt{2\,\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\,\sigma^2}}$ y que $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx=1$, vemos que la función propuesta corresponde a este modelo de distribución con $\mu=0$ y $\sigma=1$ y por tanto
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=1$, luego $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2\pi}$

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Aplicaciones del cálculo integral

Enunciado:
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en gramos/hora y los valores de $t$ en horas ( h ). Se pide:
  a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ?
  b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ?

Resolución:

a)
Siendo $f(t)$ la función que expresa la cantidad de sustancia diluida por unidad de tiempo, la cantidad de sustancia diluida en un instante de tiempo $t$ viene dada por la familia de primitivas de $f(t)$, esto es, por el conjunto de funciones $F(t)+C$, donde $(F(t)+C)'=f(t)$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), en otras palabras, por $\displaystyle \int\,f(t)\,dt=\int e^{0'001\,t}\,dt$, es decir, $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\,t}+C$, donde $C$ es la constante de integración.


Entonces, como en el instante inicial la cantidad de sustancia en el líquido es nula, $F(0)=0$, podemos escribir que $\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot 0}+C=0 \Rightarrow \dfrac{1}{0,001}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{0,001}$ con lo cual hemos fijado la constante de integración de acuerdo con la condición inicial del proceso, y, por tanto, la función que describe la cantidad de sustancia, dada dicha condición inicial, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\, t}-\dfrac{1}{0,001}\,$, que, expresada de forma más compacta, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\, t}-1\big)$.


La cantidad de sustancia diluida en el líquido que contiene el recipiente en el instante $t=4 \, \text{h}$ es $F(4)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)$ y la cantidad de sustancia en $t=1\,\text{h}$ es $F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, luego entre un instante y otro la cantidad de dicha sustancia viene dada por $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)-\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, y, simplificando, obtenemos $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

Nota: Podemos llegar al mismo resultado con más brevedad calculando directamente el valor de la integral definida ( Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ) de la función $f(t)$ integrada entre $t=1$ y $t=4$ tal como sigue $\displaystyle \int_{1}^{4}\,e^{0'001\,t}\,dt=\left[ \dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot t} \right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

b)
Veamos, ahora, cuáles son las unidades en las que se expresa la constante del exponente ( al que denotamos por $\tau$ y cuyo valor es $0,001$ ). Como la cantidad del exponente de $\tau \cdot t$, debe ser adimensional, $[\tau]=[T]^{-1}$, luego las unidades de $\tau$ son $\text{h}^{-1}$, o lo que es lo mismo, $1/h$ es decir, $\tau = 0,001 \, \text{h}^{-1}$

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Espacio de probabilidad

Un espacio de probabilidad es una terna $(\Omega,\mathcal{A},p)$ donde $\Omega$ es el espacio muestral asociado a una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$; $\mathcal{A}$ es un álgebra de sucesos/conjuntos sobre el espacio muestral $\Omega$, y $p$ es una función que asigna un número real del intervalo $[0,1]$ cada elemento de $\mathcal{A}$ y a la cual llamamos función probabilidad.

Observación: Si el espacio muestral es finito ( que es lo habitual en el tipo de problemas que resolvemos en Bachillerato ), decimos que $(\Omega,\mathcal{A},p)$ es un espacio de probabilidad finito. En cuyo caso, $\mathcal{A}$ es el conjunto de las partes de $\Omega$, al que designamos por $\mathcal{P}(\mathcal{A})$

El número pi y los experimentos aleatorios. El experimento de la aguja de Buffon

Se celebra mañana el día del número $\pi$. Éste aparece no sólo cuando tratamos con círculos, circunferencias y esferas; también está relacionado con la probabilidad; así, por ejemplo, aparece en el experimento de la aguja de Buffon. La probabilidad de que una aguja de longitud $\ell$, lanzada al azar sobre un plano en el que está dibujado un entramado de líneas paralelas ( situadas unas de otras a distancia $\ell$ ), se quede en una posición tal que cruce una de las líneas es igual a $\dfrac{2}{\pi}$.

Echad un vistazo a este simulador del experimento de Buffon, que forma parte del repositorio de Probailidad y Estadística de la Universidad de Illinois, donde podéis encontrar también otros muchos recursos de Matemáticas.

Imagen de una simulación con 100000 lanzamientos. Observemos que se obtienen tres cifras correctas de $\pi$
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Teorema de Taylor ( fórmula de Taylor ). Resto de Lagrange. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange

En este artículo -- que es una extensión de un artículo precedente en el que se hablaba del polinomio de Taylor $P_{n,a}(x)$ de orden $n$ de una función $f$, en un punto $x=a$ -- hablaremos del teorema de Taylor y, al hilo de este importante resultado, del término adicional, al que llamaremos residuo o término complementario $E_n$, que da cuenta de en qué medida los polinomios de Taylor de grado sucesivo se van aproximando a la función dada $f(x)$, y, hasta qué orden deberíamos llegar para garantizar una precisión fijada de antemano.

Consideremos ahora una función $f(x)$ que admita derivadas sucesivas hasta un cierto orden $n+1$ en un entorno del punto $x=a$, entonces podemos expresar dicha función en la forma de Taylor ( fórmula de Taylor ) $$f(x)=P_{n,a}(x)+E_{n} \quad \quad (1)$$ esto es $$f(x)=f(a)+\dfrac{x-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(x-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$

Se pueden dar distintas expresiones para el resto o término complementario ( o de error ), $E_n$, para adecuarlo de la mejor manera posible al problema de aplicación que se tenga; aquí expondremos el llamado resto de Lagrange.

Teorema ( de Taylor ).
Consideremos un entorno abierto del punto $a$ en la que la función es derivable $n+1$ veces, y sea $b$ un punto del entorno de $a$, entonces podemos escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{b-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(b-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ Siendo $b-a=h$, y por tanto $b=a+h$, podremos también escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{h}{1!}\,f'(a)+\dfrac{h^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{h^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ y demostraremos que el resto -- que denominaremos, de Lagrange -- es igual a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\; \text{donde}\; c\in (a,b)$$

Demostración.
Consideremos la función ( de variable $t$ ), definida de tal manera que tome los mismos valores en $t=a$ y en $t=b$ $$\Phi(a)=\Phi(b)=f(b)$$ tal como $$\Phi(t)\overset{\text{def}}{=}f(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f'(t)+\dfrac{(b-t)^2}{2!}\,f''(t)+\ldots+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n)}(t)+\dfrac{(b-t)^{n+1}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Y, en estas condiciones, siendo por tanto aplicableel teorema de Rolle [ existirá al menos un punto $c \in (a,b)$ para el cual $\Phi'(c)=0$ ] y derivando $\Phi(t)$
    $\Phi'(t)=f'(t)-f'(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)-\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)+\ldots-$
      $-\dfrac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f^{n}(t)+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$
Expresión que, simplificada, resulta $$\Phi'(t)=\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Teniendo en cuenta ahora que en $t=c$ ésta se anula, obtenemos $$\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)=\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{n^{n+1}}\,E_n$$ y por tanto $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)$$

Además, como $c \in (a,a+h)$, podemos expresar $c$ de la forma $c=a+\theta\,h$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, denominamos término complementario de Lagrange a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$ por lo que, teniendo en cuenta (1), podemos escribir lo que denominamos fórmula de Taylor con el término complementario de Lagrange de la forma
$$\displaystyle f(a+h)=f(a)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{h^{i}\,f^{(i)}(a)}{i!}+\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$
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Coroloario ( fórmula de MacLaurin ).
Si en la fórmula de Taylor con resto de Lagrange hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$

Ejemplo.
Mediante la fórmula de Taylor podemos desarrollar una función derivable $n+1$ veces alrededor de un valor $a$ hasta el orden que convengamos. Por ejemplo, el desarrollo de la función $f(x)=\ln(x+1)$ alrededor de $a=0$ hasta el término de orden $3$ ( término en el que aparece la derivada de tercer orden ) puede comprobarse que resulta ser $$f(x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$ con resto de Lagrange igual a $$E_{3}=-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$ esto es $$f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$
Así, por ejemplo, para $x:=1/2$, obtenemos que $\ln(1/2+1)=\ln(3/2)$, es igual a $$f(1/2)=1/2-\dfrac{(1/2)^2}{2}+\dfrac{(1/2)^3}{3}-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ es decir $$\ln(3/2)=5/12-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ con lo cual hemos obtenido la aproximación $$\ln(3/2)\approx 5/12$$ con la una cota de error dada por el resto de Lagrange, $E_4$; en efecto, como $E_4$ depende de $\theta$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, tomando $\theta:=0$ obtendremos la mayor de las cotas dadas por dicho resto de Lagrange, pues cuánto mayor sea el valor del denominador del resto de Lagrange mayor será la cuantía de dicho resto, la cual toma el valor $$|E_4|_{\theta:=0}=\left|-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+0 \cdot (1/2))^4}\right|=1/64$$

A modo de comprobación, observemos que $$\ln(3/2)-5/12 \approx 0,0112 \prec 0,0156=|E_4|_{\theta:=0}$$

Polinomio de Taylor de grado n de una función f(x) en un punto x=a

Teorema. Sea una función $f(x)$ con derivada de orden $n$ en el punto $a$, entonces existe un único polinomio $P_{n,a}(x)$, de grado menor o igual que $n$ que satisface las siguientes $n+1$ condiciones: $$(1) \,\left\{\begin{matrix}P_{n,a}(a)=f(a) \\ P'_{n,a}(a)=f'(a) \\ P''_{n,a}(a)=f''(a) \\ \ldots \\ P^{(n)}_{n,a}(a)=f^{(n)}(a)\end{matrix}\right.$$

Demostración.
En efecto, el polinomio genérico de grado $n$ de potencias crecientes de $x-a$ es $$P_{n,a}=c_0+c_1\,(x-a)+c_2\,(x-a)^2+\ldots+c_{n}\,(x-a)^n$$ Calculando las $n$ derivadas sucesivas, $$\begin{matrix}P'_{n,a}(a)=c_1+2\,c_2\,(x-a)+3\,c_3\,(x-a)^2+\ldots+n\,c_n\,(x-a)^{n-1} \\ \Rightarrow P'_{n,a}(a)=c_1 \\ P''_{n,a}(a)=2\,c_2\,(x-a)+3\cdot 2\,c_3\,(x-a)+\ldots+n\cdot (n-1)\,c_n\,(x-a)^{n-2} \Rightarrow \\ P''_{n,a}(a)=2\,c_2 \\ P'''_{n,a}(a)=3!\,c_3+\ldots+n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\,c_n\,(x-a)^{n-3} \Rightarrow \\ P'''_{n,a}(a)=3!\,c_3 \\ \ldots\\ P^{(n)}_{n,a}(a)=n!\,c_n \Rightarrow P^{(n)}_{n,a}(a)=n!\,c_n \end{matrix}$$ Imponiendo las condiciones (1) obtenemos $$\begin{matrix}c_0=P_{n,a}(a)=f(a)\\ c_1=P'_{n,a}(a)=f'(a) \\ c_2=\dfrac{1}{2}\,P''_{n,a}(a)=\dfrac{1}{2}\,f''(a) \\ c_3=\dfrac{1}{3!}\,P'''_{n,a}(a)=\dfrac{1}{3!}\,f''(a) \\ \ldots \\ c_n=\dfrac{1}{n!}\,P^{(n)}_{n,a}(a)=\dfrac{1}{n!}\, f^{(n)}(a)\end{matrix}$$ con lo cual llegamos a
$P_{n,a}(a)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}\,(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}\,(x-a)^2+\dfrac{f'''(a)}{3!}\,(x-a)^3+\ldots+$
    $+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n$
que se conoce como polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f$, en el punto $x=a$

Ejemplo. Dada la función $f(x)=e^x$, el polinomio de Taylor de orden $n$ en el punto $x=0$ de dicha función es $$P_{n,0}(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}$$
Observación. Mediante el polinomio de Taylor $P_{n,0}(x)$ de $e^x$, para $x=1$, podemos calcular las cifras del número $e$, según la precisión requerida.
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Integrales impropias

Una integral definida puede ser impropia por ser el intervalo de integración infinito o bien por ser no acotada en el intervalo de integración la función integrando. En cualquiera de los dos casos recurriremos a un paso al límite, después de calcular la integral definida al sustituir el límite de integración que causa el problema por una variable auxiliar, que será la variable de control de dicho límite. En los siguientes ejemplos se lleva esta idea a la práctica.

Intervalo de integración infinito
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$

Observemos que se trata de una integral impropia, por ser el intervalo de integración es infinito. Para resolverla, integraremos entre $1$ y $t$, para, posteriormente, pasar al límite cuando $t$ tiende a $+\infty$. Procedamos:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{t}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,[-1/x]_{1}^{t}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\left(-\dfrac{1}{t}-(-1)\right)=1$

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Funciones no acotadas en el intervalo de integración
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ ( tomamos sólo el valor positivo de la ráiz cuadrada ).

Observemos que se trata de una integral impropia, por no estar acada la función en $x=0$. La resolveremos integrando primero entre $t$ y $1$; y, desupués, pasaremos al límite el resultado, haciendo tender $t$ a $0$. Veámoslo: $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,\int_{t}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}},dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,[2\,\sqrt{x}]_{t}^{1}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{t}\right)=2$

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Integración por partes

ENUNCIADO. Calcular la familia de primitivas asociada a la función $f(t)=\ln\,t$

SOLUCIÓN. $\displaystyle I:=\int\,\ln\,t\,dt \overset{(1)}{=}t\,\ln\,t-\int\,t\cdot \dfrac{1}{t}\,dx=$
$=t\,\ln\,t-t+C=t\,(\ln\,t-1)+C$

--- (1) Nota: Integrando por el método de por partes, que, como es sabido, nos da el siguiente resultado: $\displaystyle \int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$
    En este problema designamos $u:=\ln\,t$ con lo cual $du = \dfrac{1}{t}\,dt$
    y $dv:=dt$ y por tanto $v=t$

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Funciones sin función primitiva elemental

Hay funciones que no tienen primitiva elemental, por ejemplo $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$, por lo que deben integrarse por métodos aproximados; para ello, podemos sustituir la función del integrando por una función de interpolación que dé buen resultado ( se parezca lo suficiente a la función dada en el intervalo deseado ), que, en el caso de querer calcular una integral definida, sus extremos vienen dados por los límites de integración.

Podemos elegir entre diversos métodos de interpolación: el método de Lagrange, o bien empleando el polinomio de Taylor, por ejemplo. Aunque todo esto vaya más allá de los objetivos del curso ( Matemáticas II, 2.º de Bachillerato ), recomiendo que consultéis algún libro de Matemáticas de COU, pues hace un par de décadas sí se contemplaba una introducción a este problema. También podéis consultar los siguientes artículos de este blog que, a modo de ampliación, arrojan un poco de luz sobre este tema: [1|2]

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A modo de complemento sobre el interesante asunto de las funciones sin primitiva elemental, os recomiendo la lectura de este interesante artículo ( Referencia: Gaussianos )

Integrales definida de una función par y de una función impar en dominios simétricos

Si una función $f(x)$ es impar, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=-f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica con respecto del origen de coordenadas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=0$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=0$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=-\cos\,\pi/2-(-\cos\,(-\pi/2))=0-0=0$$

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Si una función $f(x)$ es par, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica por reflexión con respecto del eje de abscisas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{0}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{-a}^{0}\,f(x)\,dx$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\,\int_{0}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\cdot (\sin\,\pi/2-\sin\,0)=2\cdot (1-0)=2$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=\sin\,(\pi/2)-(\sin\,(-\pi/2))=1-(-1)=2$$

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Integración de funciones definidas a trozos

ENUNCIADO. Calcular una primitiva asociada a la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \text{si} & x\le 1 \\ e^x & \text{si} & x\succ 1 \end{matrix}\right.$$ y dibujar las gráficas de sendas funciones.

SOLUCIÓN. Se pide que resolvamos la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$. Integrando por separado cada uno de los dos tramos, obtenemos $$F(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{3}\,x^3 & \text{si} & x\le 1 \\ e^x & \text{si} & x\succ 1 \end{matrix}\right.$$

Gráficas:

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Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcúlese la familia de primitivas asociada a la función $$f(x)=\dfrac{e^x}{1+e^x}$$

SOLUCIÓN.
$$\displaystyle \int\, \dfrac{e^x}{1+e^x}\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1\overset{(2)}{=}\ln\,(1+e^x)+C$$

Nota 1. Cambio de variable: $t=1+e^x \Rightarrow dt = e^x\,dx$
Nota 2. Deshaciendo el cambio de variable realizado en (1)

Funciones integrables, no necesariamente continuas en todos los puntos

Recordemos que, según lo explicado en clase, toda función continua ( o incluso siendo discontinua en una cantidad finita de puntos ) en en un intervalo cerrado y acotado es integrable en el sentido de Riemann. Y que, también, toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado es integrable ( en el sentido de Riemann ). Sin embargo, no toda función integrable ( en el sentido de Riemann ) es continua y monótona.

Ejemplo. La integral $\displaystyle \int_{-2}^{3}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)=\left\{\begin{matrix}2 \; \text{si}\, x \prec 0 \\ 3 \; \text{si}\, x \ge 0 \end{matrix}\right.$ ( que es discontinua en $x=0$ ) es igual a $\displaystyle \int_{-2}^{0}\,2\,dx + \displaystyle \int_{0}^{3}\,3\,dx = 4+9 = 13 $
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Derivada de una función definida mediante una integral

ENUNCIADO. Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral $$\displaystyle F(x)\overset{.}{=} \int_{3x}^{x^2}\,\cos(t)\,dt$$ Calcúlese la derivada de dicha función

SOLUCIÓN. Una consecuencia del teorema fundamental del cálculo es la siguiente, si $\displaystyle F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}\,f(t)\,dt$ entonces $F'(x)=f\left( h(x) \right)\cdot h'(x)-f\left( g(x) \right)\cdot g'(x)$. Así pues, en nuestro caso, $$F'(x)=\cos(x^2)\cdot(x^2)'-\cos(3x)\cdot(3x)'=2\,x\,cos\,x^2-3\,\cos\,3\,x$$
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Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de la longitud de un segmento de curva

ENUNCIADO. Calcúlese la longitud del trozo de curva correspondiente a la función cuadrática $f(x)=x^2$ entre los puntos de abscisas $x=0$ y $x=1$

SOLUCIÓN.
Sea $\Delta\,\ell$ la longitud de un trozo ( pequeño ) de curva, entonces tenemos que $\Delta\,\ell \approx \sqrt{\Delta\,x+\Delta\,y}$ ( aproximando a un triángulo rectángulo el triángulo con los mismos catetos y con un segemento curvilíneo donde debería estar la hipotenusa ) con lo cual si $\Delta\,x \rightarrow 0$ ( haciendo abstracción a cantidades infinitesimales ), $$ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$$ Ahora bien, como $dy=f'(x=\,dx$ lo anterior se puede escribir de la forma $$ds = \sqrt{(dx)^2+(f'(x))^2\,(dx)^2} = \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ Así que $$\displaystyle \int\,ds = \int\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ luego la longitud de un trozo de curva entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ ( $a \prec b$ ) es igual al valor de la integral definida $$\int_{a}^{b}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$

Así pues, la longitud del trozo de curva, $s$, entre los puntos indicados viene dado por el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ esto es $$s=\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx=\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx$$ Una función primitiva de la función del integrando es $$F(x)\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{4}\,\ln\left(\left| \sqrt{4\,x^2+1}+2\,x\right|\right)+\dfrac{1}{2}\,x\,\sqrt{4\,x^2+1}$$ Aplicando ahora la regla de Barrow, encontramos: $s=\displaystyle F(1)-F(0) =\dfrac{1}{4}\,\ln\,(\sqrt{5}+2)+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Notas:
(1) Para no entorpecer el ejercicio con el trabajo de cálculo de la integral indefinida, y a modo de "andamiaje", sugiero que utilicéis las aplicaciones de cálculo simbólico de GeoGebra, o bien de MAXIMA, para encontrar dicha primitiva

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Demostración de la expresión del volumen de una esfera de radio dado. Aplicaciones de la integral definida

Demostración de la fórmula del volumen de un cono de radio y altura dadas

Aplicaciones de la integral definida a la Cinemática

ENUNCIADO. Un vehículo, cuando arranca, lleva un movimiento rectilíneo uniformamente acelerado, en el que la aceleración es de $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $30$ segundos
b) La longitud de camino recorrido en esos $30$ segundos

SOLUCIÓN.
a) Como $a(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d^2\,\left(x(t)\right)}{dt^2}\,=2$, esto es, $\dfrac{d\,\left(v(t)\right)}{dt}\,=2$, luego $d\,v(t) = 2\, dt \Rightarrow \int\,d\,v(t) = \int\,2\,dt$ . En consecuencia, $v(t)=2t+C_1$. Teniendo en cuenta que el móbil parte del reposo, podemos escribir que $v(0)=0$, $0=2\cdot 0+C_1 \Rightarrow C_1=0$. En consecuencia, la función velocidad es
$v(t)=2t+0=2\,t$. Así pues $v(30)=2\cdot 30 = 60\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$


b) Teniendo en cuenta que $v(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d\,\left(x(t)\right)}{dt}\,=2\,t$, por tanto $d\left(x(t)\right)=2\,t\,dt$, con lo cual $\int\,d\left(x(t)\right) = \int\,2\,t\,dt$, esto es $x(t)=t^2+C_2$. Ahora bien, $x(0)=0$, en consecuencia $0=0^2+C_2 \Rightarrow C_2=0$. Así pues $x(t)=t^2$. Y en consecuencia $x(30)=30^2=900\,\text{m}$

Otra forma de calcularlo: Como una función primitiva de $v(t)=2t$ es $x(t)=t^2$, otra forma de calcular la longitud, $\ell$, de camino recorrido ( entre los dos instantes de tiempo dados ) es la siguiente: $$\ell=\displaystyle\,\int_{0}^{30}\,2t\,dt=\left[ t^2 \right]_{0}^{30}=30^2-0^2=900\,\text{m}$$

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Ejemplo de aplicación de la integral definida a la Economía

ENUNCIADO. Una fábrica produce un determinado tipo de objetos. La función ingreso marginal ( función derivada de la función ingresos ) -- ambas dependientes de la variable $x$, que es el número de objetos vendidos -- viende dada por $i(x)=\dfrac{3}{x+2}+5$, expresada en euros por objeto ( vendido ). ¿ Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender $100$ objetos a vender $200$ objetos ?

SOLUCIÓN. La familia de funciones primitivas viene dada por $\displaystyle \int\,i(x)\,dx =\int\,\left( \dfrac{3}{x+2} + 5 \right)=3\,\ln\,|x+2|+5\,x + C$, luego una primitiva de $i(x)$ es $I(x)=3\,\ln\,|x+2|+5\,x $. En consecuencia, la cantidad ingresada al pasar de vender $100$ objetos a vender $200$ objetos es $$\displaystyle \,\int_{100}^{200}\,i(x)\,dx=\left[ 3\,\ln\,|x+2|+5\,x \right]_{4}^{8}= 3\,\ln \left| \dfrac{202}{102} \right| \ + 500\, \approx 502\, \text{euros}$$ $\square$

Aplicaciones de la integral definida a las ciencias del medio ambiente

ENUNCIADO. La función que mide el caudal que sale de un depósitio es $f(x)=10-x$, donde $f(x)$ viene dado en litros por segundo, y x, en segundos. ¿ Qué cantidad de agua sale del depósito entre $t=4$ s y $t=8$ s ?

SOLUCIÓN. La familia de funciones primitivas ( que describe la cantidad de agua que sale del depósito ) viene dada por $\displaystyle \int\,f(x)\,dx = \int\,(10-x)\,dx=10\,x-\dfrac{1}{2}\,x^2 + C$, luego una primitiva de $f(x)$ es $F(x)=10\,x-\dfrac{1}{2}\,x^2$. En consecuencia, la cantidad de agua que sale entre los dos instantes de tiempo dados es $$\displaystyle \,\int_{4}^{8}\,f(x)\,dx=\left[ 10\,x-\dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{4}^{8}=64\,\text{L}$$ $\square$

Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas