Primitivas que no son expresables como una combinación finita de funciones elementales

Una función real de una variable real $f(x)$, continua en $(a,b)$ tiene en este intervalo una función primitiva $F(x)$ tal que $F'(x)=f(x)$ ( primer teorema fundamental del cálculo ). Ahora bien, no toda función primitiva, aunque exista, puede expresarse mediante un número finito de combinaciones de funciones elementales. Algunos ejemplos de funciones primitivas de este tipo correspondientes a las integrales que se indican son:
$$\int e^{-x^2}\,dx$$ $$\int \dfrac{\sin\,x}{x}\,dx$$ $$\int \dfrac{\cos\,x}{x}\,dx$$ $$\int \sqrt{1-k^2\,\sin^{2}\,x}\,dx$$ $$\int \dfrac{dx}{\ln\,x}$$ además de las integrales binómicas $\int\,x^{m}\,(a+b\,x^{n})^{p}\,dx$, tales que no sean de alguno de los siguientes tipos ( teorema de Chebyshov ): i) $p\in \mathbb{Z}$, ii) $\dfrac{m+1}{n}\in \mathbb{Z}$ y iii) $\dfrac{m+1}{n}+ p \in \mathbb{Z}$

Referencias:
N. Piskunov, Cálculo diferencial e integral, Montaner y Simon, S.A., Barcelona, 1978

Funciones sin función primitiva elemental

Hay funciones que no tienen primitiva elemental, por ejemplo $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$, por lo que deben integrarse por métodos aproximados; para ello, podemos sustituir la función del integrando por una función de interpolación que dé buen resultado ( se parezca lo suficiente a la función dada en el intervalo deseado ), que, en el caso de querer calcular una integral definida, sus extremos vienen dados por los límites de integración.

Podemos elegir entre diversos métodos de interpolación: el método de Lagrange, o bien empleando el polinomio de Taylor, por ejemplo. Aunque todo esto vaya más allá de los objetivos del curso ( Matemáticas II, 2.º de Bachillerato ), recomiendo que consultéis algún libro de Matemáticas de COU, pues hace un par de décadas sí se contemplaba una introducción a este problema. También podéis consultar los siguientes artículos de este blog que, a modo de ampliación, arrojan un poco de luz sobre este tema: [1|2]

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A modo de complemento sobre el interesante asunto de las funciones sin primitiva elemental, os recomiendo la lectura de este interesante artículo ( Referencia: Gaussianos )