Intervalo de integración infinito
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$
Observemos que se trata de una integral impropia, por ser el intervalo de integración es infinito. Para resolverla, integraremos entre $1$ y $t$, para, posteriormente, pasar al límite cuando $t$ tiende a $+\infty$. Procedamos:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{t}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,[-1/x]_{1}^{t}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\left(-\dfrac{1}{t}-(-1)\right)=1$
Funciones no acotadas en el intervalo de integración
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ ( tomamos sólo el valor positivo de la ráiz cuadrada ).
Observemos que se trata de una integral impropia, por no estar acada la función en $x=0$. La resolveremos integrando primero entre $t$ y $1$; y, desupués, pasaremos al límite el resultado, haciendo tender $t$ a $0$. Veámoslo: $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,\int_{t}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}},dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,[2\,\sqrt{x}]_{t}^{1}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{t}\right)=2$
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