Integrales impropias

Una integral definida puede ser impropia por ser el intervalo de integración infinito o bien por ser no acotada en el intervalo de integración la función integrando. En cualquiera de los dos casos recurriremos a un paso al límite, después de calcular la integral definida al sustituir el límite de integración que causa el problema por una variable auxiliar, que será la variable de control de dicho límite. En los siguientes ejemplos se lleva esta idea a la práctica.

Intervalo de integración infinito
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$

Observemos que se trata de una integral impropia, por ser el intervalo de integración es infinito. Para resolverla, integraremos entre $1$ y $t$, para, posteriormente, pasar al límite cuando $t$ tiende a $+\infty$. Procedamos:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{t}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,[-1/x]_{1}^{t}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\left(-\dfrac{1}{t}-(-1)\right)=1$

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Funciones no acotadas en el intervalo de integración
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ ( tomamos sólo el valor positivo de la ráiz cuadrada ).

Observemos que se trata de una integral impropia, por no estar acada la función en $x=0$. La resolveremos integrando primero entre $t$ y $1$; y, desupués, pasaremos al límite el resultado, haciendo tender $t$ a $0$. Veámoslo: $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,\int_{t}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}},dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,[2\,\sqrt{x}]_{t}^{1}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{t}\right)=2$

$\square$