Polinomio de Taylor de grado n de una función f(x) en un punto x=a

Teorema. Sea una función $f(x)$ con derivada de orden $n$ en el punto $a$, entonces existe un único polinomio $P_{n,a}(x)$, de grado menor o igual que $n$ que satisface las siguientes $n+1$ condiciones: $$(1) \,\left\{\begin{matrix}P_{n,a}(a)=f(a) \\ P'_{n,a}(a)=f'(a) \\ P''_{n,a}(a)=f''(a) \\ \ldots \\ P^{(n)}_{n,a}(a)=f^{(n)}(a)\end{matrix}\right.$$

Demostración.
En efecto, el polinomio genérico de grado $n$ de potencias crecientes de $x-a$ es $$P_{n,a}=c_0+c_1\,(x-a)+c_2\,(x-a)^2+\ldots+c_{n}\,(x-a)^n$$ Calculando las $n$ derivadas sucesivas, $$\begin{matrix}P'_{n,a}(a)=c_1+2\,c_2\,(x-a)+3\,c_3\,(x-a)^2+\ldots+n\,c_n\,(x-a)^{n-1} \\ \Rightarrow P'_{n,a}(a)=c_1 \\ P''_{n,a}(a)=2\,c_2\,(x-a)+3\cdot 2\,c_3\,(x-a)+\ldots+n\cdot (n-1)\,c_n\,(x-a)^{n-2} \Rightarrow \\ P''_{n,a}(a)=2\,c_2 \\ P'''_{n,a}(a)=3!\,c_3+\ldots+n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\,c_n\,(x-a)^{n-3} \Rightarrow \\ P'''_{n,a}(a)=3!\,c_3 \\ \ldots\\ P^{(n)}_{n,a}(a)=n!\,c_n \Rightarrow P^{(n)}_{n,a}(a)=n!\,c_n \end{matrix}$$ Imponiendo las condiciones (1) obtenemos $$\begin{matrix}c_0=P_{n,a}(a)=f(a)\\ c_1=P'_{n,a}(a)=f'(a) \\ c_2=\dfrac{1}{2}\,P''_{n,a}(a)=\dfrac{1}{2}\,f''(a) \\ c_3=\dfrac{1}{3!}\,P'''_{n,a}(a)=\dfrac{1}{3!}\,f''(a) \\ \ldots \\ c_n=\dfrac{1}{n!}\,P^{(n)}_{n,a}(a)=\dfrac{1}{n!}\, f^{(n)}(a)\end{matrix}$$ con lo cual llegamos a
$P_{n,a}(a)=f(a)+\dfrac{f'(a)}{1!}\,(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}\,(x-a)^2+\dfrac{f'''(a)}{3!}\,(x-a)^3+\ldots+$
    $+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n$
que se conoce como polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f$, en el punto $x=a$

Ejemplo. Dada la función $f(x)=e^x$, el polinomio de Taylor de orden $n$ en el punto $x=0$ de dicha función es $$P_{n,0}(x)=1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}$$
Observación. Mediante el polinomio de Taylor $P_{n,0}(x)$ de $e^x$, para $x=1$, podemos calcular las cifras del número $e$, según la precisión requerida.
$\square$