Funciones integrables, no necesariamente continuas en todos los puntos

Recordemos que, según lo explicado en clase, toda función continua ( o incluso siendo discontinua en una cantidad finita de puntos ) en en un intervalo cerrado y acotado es integrable en el sentido de Riemann. Y que, también, toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado es integrable ( en el sentido de Riemann ). Sin embargo, no toda función integrable ( en el sentido de Riemann ) es continua y monótona.

Ejemplo. La integral $\displaystyle \int_{-2}^{3}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)=\left\{\begin{matrix}2 \; \text{si}\, x \prec 0 \\ 3 \; \text{si}\, x \ge 0 \end{matrix}\right.$ ( que es discontinua en $x=0$ ) es igual a $\displaystyle \int_{-2}^{0}\,2\,dx + \displaystyle \int_{0}^{3}\,3\,dx = 4+9 = 13 $
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Funciones continuas

Definición (Continuidad en un punto).

Sea $f$ una función realde una variable real $f:D \rightarrow \mathbb{R}$, donde $D=\text{Dom}\,f$ y consideremos un valor $a \in \mathbb{R}$. Diremos que $f$ es continua en $a$ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:
i) $a \in \text{Dom}\,f$
ii) Existe el límite $\displaystyle \, \lim_{x\rightarrow a}\,f(x) \in \mathbb{R}$, al que llamaremos $\ell$
iii) $f(a)=\ell$

Dicho de otro modo, $f$ es continua en $a$ si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$


Definición (Continuidad lateral por la derecha).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \succ a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$

Definición (Continuidad lateral por la izquierda).
Diremos que $f$ es continua en $a$ por la derecha si y sólo si para todo $\varepsilon \succ 0$ es posible encontrar un $\delta \succ 0$ ( que, en general, depende de $\varepsilon$ ) tal que si $0 \prec \left|x-a\right|\prec \delta$ y $x \prec a$, entonces $\left|f(x)- f(a) \right|\prec \varepsilon$

Proposición. Una función $f$ es continua en $a$ si y sólo si es continua por la derecha y por la izquierda en $a$

Tipos de discontinuidades en un punto $x=a$:
  1. De primera especie (los límites laterales existen, dando valores finitos o bien infinitos)
    i) Evitable (el límite de la función existe cuando $x\rightarrow a$ pero su valor no coincide con $f(a)$ o bien $f$ no está definida en $x=a$. Esta discontinuidad se dice evitable porque redefiniendo el valor de $f$ en ese punto, desaparece la discontinuidad)
    ii) No evitable
        ii.1) De salto finito ( los límites laterales existen, pero no coinciden sus valores )
        ii.2) De salto infinito ( uno de los límites laterales es infinito y el otro es finito )
    ii.3 ) Asintótica ( si los dos límites laterales son infinitos )
  2. Esenciales o de segunda especie (no existe alguno de los límites laterales o bien la función no está definida a la derecha o a la izquierda de $x=a$ )

Propiedades:
Sean $f$ y $g$ funciones continuas en el punto $a\in \mathbb{R}$, entonces:
P1) $f+g$ es continua en $a$
P2) $k\,f$ es continua en $a$, para todo $k\in\mathbb{R}$
P3) $f \cdot g$ es continua en $a$
P4) $f/g$ es continua en $a$, siempre que $g(x)\neq 0$
P5) las funciones compuestas $g\circ f$ y $f\circ g$ son continuas en $a$




Definición ( Continuidad en un intervalo ).
1) Una función es continua en un intervalo abierto $(a,b)$ si y sólo si es continua en todos los puntos del intervalo.
2) Una función es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ si y sólo si es continua en todos los puntos del interior del intervalo y es continua por la derecha en $b$ y por la izquierda en $a$

Teoremas básicos acerca de funciones continuas y derivables

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD

Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$

Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).

Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.

Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$

Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO

Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$


Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

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