Funciones integrables, no necesariamente continuas en todos los puntos

Recordemos que, según lo explicado en clase, toda función continua ( o incluso siendo discontinua en una cantidad finita de puntos ) en en un intervalo cerrado y acotado es integrable en el sentido de Riemann. Y que, también, toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado es integrable ( en el sentido de Riemann ). Sin embargo, no toda función integrable ( en el sentido de Riemann ) es continua y monótona.

Ejemplo. La integral $\displaystyle \int_{-2}^{3}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)=\left\{\begin{matrix}2 \; \text{si}\, x \prec 0 \\ 3 \; \text{si}\, x \ge 0 \end{matrix}\right.$ ( que es discontinua en $x=0$ ) es igual a $\displaystyle \int_{-2}^{0}\,2\,dx + \displaystyle \int_{0}^{3}\,3\,dx = 4+9 = 13 $
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