Aplicaciones de la integral definida a la Cinemática

ENUNCIADO. Un vehículo, cuando arranca, lleva un movimiento rectilíneo uniformamente acelerado, en el que la aceleración es de $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $30$ segundos
b) La longitud de camino recorrido en esos $30$ segundos

SOLUCIÓN.
a) Como $a(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d^2\,\left(x(t)\right)}{dt^2}\,=2$, esto es, $\dfrac{d\,\left(v(t)\right)}{dt}\,=2$, luego $d\,v(t) = 2\, dt \Rightarrow \int\,d\,v(t) = \int\,2\,dt$ . En consecuencia, $v(t)=2t+C_1$. Teniendo en cuenta que el móbil parte del reposo, podemos escribir que $v(0)=0$, $0=2\cdot 0+C_1 \Rightarrow C_1=0$. En consecuencia, la función velocidad es
$v(t)=2t+0=2\,t$. Así pues $v(30)=2\cdot 30 = 60\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$


b) Teniendo en cuenta que $v(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d\,\left(x(t)\right)}{dt}\,=2\,t$, por tanto $d\left(x(t)\right)=2\,t\,dt$, con lo cual $\int\,d\left(x(t)\right) = \int\,2\,t\,dt$, esto es $x(t)=t^2+C_2$. Ahora bien, $x(0)=0$, en consecuencia $0=0^2+C_2 \Rightarrow C_2=0$. Así pues $x(t)=t^2$. Y en consecuencia $x(30)=30^2=900\,\text{m}$

Otra forma de calcularlo: Como una función primitiva de $v(t)=2t$ es $x(t)=t^2$, otra forma de calcular la longitud, $\ell$, de camino recorrido ( entre los dos instantes de tiempo dados ) es la siguiente: $$\ell=\displaystyle\,\int_{0}^{30}\,2t\,dt=\left[ t^2 \right]_{0}^{30}=30^2-0^2=900\,\text{m}$$

$\square$