Espacio de probabilidad

Un espacio de probabilidad es una terna $(\Omega,\mathcal{A},p)$ donde $\Omega$ es el espacio muestral asociado a una experiencia aleatoria $\mathcal{E}$; $\mathcal{A}$ es un álgebra de sucesos/conjuntos sobre el espacio muestral $\Omega$, y $p$ es una función que asigna un número real del intervalo $[0,1]$ cada elemento de $\mathcal{A}$ y a la cual llamamos función probabilidad.

Observación: Si el espacio muestral es finito ( que es lo habitual en el tipo de problemas que resolvemos en Bachillerato ), decimos que $(\Omega,\mathcal{A},p)$ es un espacio de probabilidad finito. En cuyo caso, $\mathcal{A}$ es el conjunto de las partes de $\Omega$, al que designamos por $\mathcal{P}(\mathcal{A})$

Aplicación del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. eL $40\,\%$ de los sábados Marta va al cine, el $30\,\%$ va de compras y el $30\,\%$ restante juega a videojuegos. Cuando va al cine, el $60\,\%$ de las veces lo hace con sus compañeros de baloncesto. Lo mismo ocurre el $20\,\%$ de las veces que va de compras, y el $80\,\%$ de las veces que juega a videojuegos. Se pide:
a) Hallar la probabilidad de que el próximo sábado Marta no quede con sus compañeros de baloncesto
b) Si se sabe que Marta ha quedado con sus compañeros de baloncesto, ¿ cuál es la probabilidad de que vayan al cine ?

SOLUCIÓN.
a)
Denotemos por: $C$ el suceso 'ir al cine'; $R$, 'ir de compras'; $V$, 'jugar a videojuegos'; y $B$, 'ir con los compañeros de baloncesto'. Según el enunciado, $P(C)=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$, $P(R)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$, $P(V)=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$; $P(B|C)=\dfrac{60}{100}=\dfrac{3}{5} $; $P(B|R)=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$ y $P(B|V)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$

Entonces, $B=(B\cap C) \cup (B\cap R) \cup (B\cap V)$ y como $(B\cap C) \cap (B\cap R) \cap (B\cap V) = \emptyset$ ( son incompatibles ), podemos escribir $P(B)=P(B\cap C)+P(B\cap R)+P(B\cap V)$ que, por la definición de probabilidad condicionada, puede ponerse de la forma ( teorema de la probabilidad total ) $$P(B)=P(B|C)P(C)+P(B|R)P(R)+P(B|V)P(V)$$ y con los datos obtenemos $$P(B)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{5}\cdot \dfrac{3}{10}=\dfrac{27}{50}$$ luego la probabilidad pedida de $\bar{B}$ ( 'no quedar con los compañeros de baloncesto' ) es igual a $$P(\bar{B})=1-P(B)=1-\dfrac{27}{50}=\dfrac{23}{50}$$

b)
$$P(C|B)\overset{\text{teorema de Bayes}}{=}\dfrac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{5}}{\dfrac{27}{50}}=\dfrac{4}{9}$$
$\square$

El problema de la aguja de Buffon. ( Artículo escrito en catalán ).