Integrales impropias

I. Caso de tener un recinto de integración infinito
Consideremos el siguiente problema de cálculo del "área bajo la curva" $$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$$ Tal como podemos ver en la figura, el recinto de integración es en este caso infinito, lo cual le confiere el caracter problemático a dicha integral

Sin embargo, podemos resolver este problema si existe el siguiente límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt$$ al cual denominaremos "integral impropia". En este caso, dicho límite existe: $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt=\lim_{x\rightarrow +\infty}\,(1-1/x)=1-1/+\infty=1-0=1$$ por lo que podemos decir que el valor de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx=1$$


II. Caso de una función no acotada en el dominio de integración.
Puede suceder que una función $f$ no esté acotada en el dominio de integración $[a,b]$, en cuyo caso pudiera ser que no existiese la integral $\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$. Sin embargo, es posible que sí sea integrable si procedemos de manera similar al caso I.

Consideremos, por ejemplo, la siguiente integral $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$$ Es claro que la función $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ no está acotada en el intervalo $[0,1]$; basta con examinar el comportamiento de la función cerca del cero:

No obstante, existe el límite $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^+}\,\int_{x}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{t}}\,dt=\lim_{x\rightarrow 0^+}\,(2-2\sqrt{x})=2$$ y por tanto existe la integral impropia ( en este caso por no estar acotada la función en el recinto de integración ) y por tanto $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2$$

Integrales impropias

Una integral definida puede ser impropia por ser el intervalo de integración infinito o bien por ser no acotada en el intervalo de integración la función integrando. En cualquiera de los dos casos recurriremos a un paso al límite, después de calcular la integral definida al sustituir el límite de integración que causa el problema por una variable auxiliar, que será la variable de control de dicho límite. En los siguientes ejemplos se lleva esta idea a la práctica.

Intervalo de integración infinito
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx$

Observemos que se trata de una integral impropia, por ser el intervalo de integración es infinito. Para resolverla, integraremos entre $1$ y $t$, para, posteriormente, pasar al límite cuando $t$ tiende a $+\infty$. Procedamos:
$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\int_{1}^{t}\,\dfrac{1}{x^2}\,dx = \lim_{t\rightarrow +\infty}\,[-1/x]_{1}^{t}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow +\infty}\,\left(-\dfrac{1}{t}-(-1)\right)=1$

-oOo-
Funciones no acotadas en el intervalo de integración
Ejemplo. Consideremos la integral $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ ( tomamos sólo el valor positivo de la ráiz cuadrada ).

Observemos que se trata de una integral impropia, por no estar acada la función en $x=0$. La resolveremos integrando primero entre $t$ y $1$; y, desupués, pasaremos al límite el resultado, haciendo tender $t$ a $0$. Veámoslo: $\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,\int_{t}^{1}\,\dfrac{1}{\sqrt{x}},dx = \lim_{t\rightarrow 0}\,[2\,\sqrt{x}]_{t}^{1}=\displaystyle \lim_{t\rightarrow 0}\,\left(2\,\sqrt{1}-2\,\sqrt{t}\right)=2$

$\square$