Ejemplo de aplicación de la integral definida a la Economía

ENUNCIADO. Una fábrica produce un determinado tipo de objetos. La función ingreso marginal ( función derivada de la función ingresos ) -- ambas dependientes de la variable $x$, que es el número de objetos vendidos -- viende dada por $i(x)=\dfrac{3}{x+2}+5$, expresada en euros por objeto ( vendido ). ¿ Cuál es el incremento de los ingresos obtenidos cuando se pasa de vender $100$ objetos a vender $200$ objetos ?

SOLUCIÓN. La familia de funciones primitivas viene dada por $\displaystyle \int\,i(x)\,dx =\int\,\left( \dfrac{3}{x+2} + 5 \right)=3\,\ln\,|x+2|+5\,x + C$, luego una primitiva de $i(x)$ es $I(x)=3\,\ln\,|x+2|+5\,x$. En consecuencia, la cantidad ingresada al pasar de vender $100$ objetos a vender $200$ objetos es $$\displaystyle \,\int_{100}^{200}\,i(x)\,dx=\left[ 3\,\ln\,|x+2|+5\,x \right]_{4}^{8}= 3\,\ln \left| \dfrac{202}{102} \right| \ + 500\, \approx 502\, \text{euros}$$ $\square$