NOTA PRELIMINAR. El contenido de este ejercicio, que hace referencia a una bonita aplicación del Teorema de Taylor, y que no se contempla en el actual corriculum de Bachillerato [ a diferencia de la importancia que se le concedió en los años setenta y ochenta del pasado siglo, con buen acierto a mi entender ]. No obstante, creo que el tema bien merece un pequeño esfuerzo más, desde luego, a modo de ampliación, y que se enseñe a los estudiantes que voluntariamente lo acepten y que estén interesados en iniciar con buen pie estudios universitarios o incluso algún ciclo superior de formación profesional. El Teorema de Taylor, como un resultado de la aproximación de funciones, tiene muchas e importantes aplicaciones. Aquí veremos una, en la que lo utilizaremos para demostrar la irracionalidad del número $e$.
ENUNCIADO. Demuéstrese que $e$ es un número irracional.
SOLUCIÓN. Recordemos que el número $e=2,71828\ldots$, por tanto $2 \prec e \prec 3$. Vamos a demostrar que $e \notin \mathbb{Q}$ empleando el método de demostración por contradicción. Para ello haremos la hipótesis contraria a lo que queremos demostrar, esto es, supondremos que $e = \dfrac{a}{b}$, donde $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}$, con $\text{m.c.d.}(\{a,b\})=1$, por ser $a/b$ una fracción irreducible.
En el desarrollo, haremos uso del teorema de Taylor, del que hablamos en [ 1 ]. Recordemos que un corolario de dicho teorema reza que si en la fórmula de Taylor hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+E_n$$ donde $$E_n=\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 \quad \quad \quad (1)$$ en nuestro caso, entendemos por $f$ la función $f(x)=e^x$. Tomando $x:=1$, vemos que $$e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}+E_n$$ y por la hipótesis de partida $$\dfrac{a}{b}=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots+\dfrac{1}{n!}+E_n$$ multiplicando por $n!$ en ambos miembros de la igualdad llegamos a $$\dfrac{n!\, a}{b}=n!+n!+\dfrac{n!}{2!}+\dfrac{n!}{3!}+\ldots+\dfrac{n!}{n!}+n!\,E_n$$ Es claro que $$n!+n!+\dfrac{n!}{2!}+\dfrac{n!}{3!}+\ldots+\dfrac{n!}{n!} \in \mathbb{Z}$$ por lo que supondremos que si $b \succ n$ [ y, siendo además $n \succ 3$ ( para que $2 \prec e \prec 3$ ) ], entonces $\dfrac{n!\, a}{b} \in \mathbb{Z}$, y, por consiguiente, en estas condiciones tenemos que $$n!\,E_n \in \mathbb{Z} \quad \quad (2)$$ Así pues, teniendo en cuenta (1), podemos escribir (2) de la forma $$\mathbb{Z} \ni n!\,E_n=\dfrac{n!\,\left(\dfrac{d^n}{dx^n}\left( e^{\theta\,x}\right)\right)_{x:=1}}{(n+1)!}=\dfrac{n!\,e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1} $$ Para $\theta:=0$, esta expesión es igual a 0; y, para $\theta:=1$, es igual a $\dfrac{e}{n+1}$. Por consiguiente, podemos escribir: $$0 \prec \underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{{\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1}}}} \prec \dfrac{e}{n+1}$$ Ahora bien, como hemos supuesto que $n \succ 3$ [ y recordando que $ 2 \prec e \prec 3$ ] deducimos que $e \prec n+1$, con lo cual $\dfrac{e}{n+1} \prec 1 $, luego $$0 \prec \underset{\in \mathbb{Z}}{\underbrace{{\dfrac{e^{\theta}\,\theta^{n+1}}{n+1}}}} \prec 1$$ pero entre $0$ y $1$ no hay ningún número entero, luego hemos llegado a una contradicción, y, por tanto, debemos negar la hipótesis de partida ( << $e$ es un número racional >> ), concluyendo por tanto la demostración de lo que queríamos demostrar: $$e \notin \mathbb{Q}$$
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martes, 23 de abril de 2019
domingo, 11 de marzo de 2018
Teorema de Taylor ( fórmula de Taylor ). Resto de Lagrange. Fórmula de Taylor con resto de Lagrange
En este artículo -- que es una extensión de un artículo precedente en el que se hablaba del polinomio de Taylor $P_{n,a}(x)$ de orden $n$ de una función $f$, en un punto $x=a$ -- hablaremos del teorema de Taylor y, al hilo de este importante resultado, del término adicional, al que llamaremos residuo o término complementario $E_n$, que da cuenta de en qué medida los polinomios de Taylor de grado sucesivo se van aproximando a la función dada $f(x)$, y, hasta qué orden deberíamos llegar para garantizar una precisión fijada de antemano.
Consideremos ahora una función $f(x)$ que admita derivadas sucesivas hasta un cierto orden $n+1$ en un entorno del punto $x=a$, entonces podemos expresar dicha función en la forma de Taylor ( fórmula de Taylor ) $$f(x)=P_{n,a}(x)+E_{n} \quad \quad (1)$$ esto es $$f(x)=f(a)+\dfrac{x-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(x-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$
Se pueden dar distintas expresiones para el resto o término complementario ( o de error ), $E_n$, para adecuarlo de la mejor manera posible al problema de aplicación que se tenga; aquí expondremos el llamado resto de Lagrange.
Teorema ( de Taylor ).
Consideremos un entorno abierto del punto $a$ en la que la función es derivable $n+1$ veces, y sea $b$ un punto del entorno de $a$, entonces podemos escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{b-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(b-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ Siendo $b-a=h$, y por tanto $b=a+h$, podremos también escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{h}{1!}\,f'(a)+\dfrac{h^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{h^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ y demostraremos que el resto -- que denominaremos, de Lagrange -- es igual a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\; \text{donde}\; c\in (a,b)$$
Demostración.
Consideremos la función ( de variable $t$ ), definida de tal manera que tome los mismos valores en $t=a$ y en $t=b$ $$\Phi(a)=\Phi(b)=f(b)$$ tal como $$\Phi(t)\overset{\text{def}}{=}f(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f'(t)+\dfrac{(b-t)^2}{2!}\,f''(t)+\ldots+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n)}(t)+\dfrac{(b-t)^{n+1}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Y, en estas condiciones, siendo por tanto aplicableel teorema de Rolle [ existirá al menos un punto $c \in (a,b)$ para el cual $\Phi'(c)=0$ ] y derivando $\Phi(t)$
$\Phi'(t)=f'(t)-f'(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)-\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)+\ldots-$
$-\dfrac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f^{n}(t)+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$
Expresión que, simplificada, resulta $$\Phi'(t)=\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Teniendo en cuenta ahora que en $t=c$ ésta se anula, obtenemos $$\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)=\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{n^{n+1}}\,E_n$$ y por tanto $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)$$
Además, como $c \in (a,a+h)$, podemos expresar $c$ de la forma $c=a+\theta\,h$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, denominamos término complementario de Lagrange a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$ por lo que, teniendo en cuenta (1), podemos escribir lo que denominamos fórmula de Taylor con el término complementario de Lagrange de la forma
$$\displaystyle f(a+h)=f(a)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{h^{i}\,f^{(i)}(a)}{i!}+\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$
$\square$
Coroloario ( fórmula de MacLaurin ).
Si en la fórmula de Taylor con resto de Lagrange hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$
Ejemplo.
Mediante la fórmula de Taylor podemos desarrollar una función derivable $n+1$ veces alrededor de un valor $a$ hasta el orden que convengamos. Por ejemplo, el desarrollo de la función $f(x)=\ln(x+1)$ alrededor de $a=0$ hasta el término de orden $3$ ( término en el que aparece la derivada de tercer orden ) puede comprobarse que resulta ser $$f(x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$ con resto de Lagrange igual a $$E_{3}=-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$ esto es $$f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$
Así, por ejemplo, para $x:=1/2$, obtenemos que $\ln(1/2+1)=\ln(3/2)$, es igual a $$f(1/2)=1/2-\dfrac{(1/2)^2}{2}+\dfrac{(1/2)^3}{3}-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ es decir $$\ln(3/2)=5/12-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ con lo cual hemos obtenido la aproximación $$\ln(3/2)\approx 5/12$$ con la una cota de error dada por el resto de Lagrange, $E_4$; en efecto, como $E_4$ depende de $\theta$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, tomando $\theta:=0$ obtendremos la mayor de las cotas dadas por dicho resto de Lagrange, pues cuánto mayor sea el valor del denominador del resto de Lagrange mayor será la cuantía de dicho resto, la cual toma el valor $$|E_4|_{\theta:=0}=\left|-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+0 \cdot (1/2))^4}\right|=1/64$$
A modo de comprobación, observemos que $$\ln(3/2)-5/12 \approx 0,0112 \prec 0,0156=|E_4|_{\theta:=0}$$
Consideremos ahora una función $f(x)$ que admita derivadas sucesivas hasta un cierto orden $n+1$ en un entorno del punto $x=a$, entonces podemos expresar dicha función en la forma de Taylor ( fórmula de Taylor ) $$f(x)=P_{n,a}(x)+E_{n} \quad \quad (1)$$ esto es $$f(x)=f(a)+\dfrac{x-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(x-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(x-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$
Se pueden dar distintas expresiones para el resto o término complementario ( o de error ), $E_n$, para adecuarlo de la mejor manera posible al problema de aplicación que se tenga; aquí expondremos el llamado resto de Lagrange.
Teorema ( de Taylor ).
Consideremos un entorno abierto del punto $a$ en la que la función es derivable $n+1$ veces, y sea $b$ un punto del entorno de $a$, entonces podemos escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{b-a}{1!}\,f'(a)+\dfrac{(b-a)^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{(b-a)^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ Siendo $b-a=h$, y por tanto $b=a+h$, podremos también escribir $$f(b)=f(a)+\dfrac{h}{1!}\,f'(a)+\dfrac{h^2}{2!}\,f''(a)+\ldots+\dfrac{h^n}{n!}\,f^{(n)}(a)+E_n$$ y demostraremos que el resto -- que denominaremos, de Lagrange -- es igual a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\; \text{donde}\; c\in (a,b)$$
Demostración.
Consideremos la función ( de variable $t$ ), definida de tal manera que tome los mismos valores en $t=a$ y en $t=b$ $$\Phi(a)=\Phi(b)=f(b)$$ tal como $$\Phi(t)\overset{\text{def}}{=}f(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f'(t)+\dfrac{(b-t)^2}{2!}\,f''(t)+\ldots+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n)}(t)+\dfrac{(b-t)^{n+1}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Y, en estas condiciones, siendo por tanto aplicableel teorema de Rolle [ existirá al menos un punto $c \in (a,b)$ para el cual $\Phi'(c)=0$ ] y derivando $\Phi(t)$
$\Phi'(t)=f'(t)-f'(t)+\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)-\dfrac{b-t}{1!}\,f''(t)+\ldots-$
$-\dfrac{(b-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f^{n}(t)+\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$
Expresión que, simplificada, resulta $$\Phi'(t)=\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)-\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{h^{n+1}}\,E_n$$ Teniendo en cuenta ahora que en $t=c$ ésta se anula, obtenemos $$\dfrac{(b-t)^n}{n!}\,f^{(n+1)}(t)=\dfrac{(n+1)\,(b-t)^{n}}{n^{n+1}}\,E_n$$ y por tanto $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)$$
Además, como $c \in (a,a+h)$, podemos expresar $c$ de la forma $c=a+\theta\,h$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, denominamos término complementario de Lagrange a $$E_n=\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$ por lo que, teniendo en cuenta (1), podemos escribir lo que denominamos fórmula de Taylor con el término complementario de Lagrange de la forma
$$\displaystyle f(a+h)=f(a)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{h^{i}\,f^{(i)}(a)}{i!}+\dfrac{h^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(a+\theta\,h)$$
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Coroloario ( fórmula de MacLaurin ).
Si en la fórmula de Taylor con resto de Lagrange hacemos $a:=0$ y $h:=x$ obtenemos la fórmula de Maclaurin con término complementario de Lagrange: $$\displaystyle f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^{n}\,\dfrac{x^{i}\,f^{(i)}(0)}{i!}+\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(\theta\,x)\quad \text{donde}\; 0 \prec \theta \prec 1 $$
Ejemplo.
Mediante la fórmula de Taylor podemos desarrollar una función derivable $n+1$ veces alrededor de un valor $a$ hasta el orden que convengamos. Por ejemplo, el desarrollo de la función $f(x)=\ln(x+1)$ alrededor de $a=0$ hasta el término de orden $3$ ( término en el que aparece la derivada de tercer orden ) puede comprobarse que resulta ser $$f(x)\approx x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}$$ con resto de Lagrange igual a $$E_{3}=-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$ esto es $$f(x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4\,(1+\theta\,x)^4}$$
Así, por ejemplo, para $x:=1/2$, obtenemos que $\ln(1/2+1)=\ln(3/2)$, es igual a $$f(1/2)=1/2-\dfrac{(1/2)^2}{2}+\dfrac{(1/2)^3}{3}-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ es decir $$\ln(3/2)=5/12-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+\theta\cdot (1/2))^4}$$ con lo cual hemos obtenido la aproximación $$\ln(3/2)\approx 5/12$$ con la una cota de error dada por el resto de Lagrange, $E_4$; en efecto, como $E_4$ depende de $\theta$, donde $0 \prec \theta \prec 1$, tomando $\theta:=0$ obtendremos la mayor de las cotas dadas por dicho resto de Lagrange, pues cuánto mayor sea el valor del denominador del resto de Lagrange mayor será la cuantía de dicho resto, la cual toma el valor $$|E_4|_{\theta:=0}=\left|-\dfrac{(1/2)^4}{4\,(1+0 \cdot (1/2))^4}\right|=1/64$$
A modo de comprobación, observemos que $$\ln(3/2)-5/12 \approx 0,0112 \prec 0,0156=|E_4|_{\theta:=0}$$
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