Un ejemplo de integral indefinida que puede resolverse empleando la técnica de integración por partes, y aplicando finalmente un cambio de variable

Calcúlese $$\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$$

Voy a integrar empleando la técnica de por partes, tomando $u=\text{arcsin}(x)$, y por tanto $du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$; y $dx=dv$, con lo cual $v=x$. Entonces, denotando $I=\displaystyle \int\,\text{arcsin}(x)\,dx$, tenemos: $$\displaystyle I\overset{\text{i. por partes}}{=} \int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\,\text{arcsin}(x)-\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\,u\,dv=uv-\int\,v\,du=x\cdot \text{arcsin}(x)-J \quad (1)$$ donde $J=\int\,\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$, integral que, mediante el cambio de variable $x=\sin(\theta) \therefore dx=\cos(\theta)\,d\theta$ y $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2\,(\theta)}=\cos(\theta)$, con lo cual $\displaystyle J=\int\,\dfrac{\sin(\theta)\,\cos(\theta)\,d\theta}{\cos(\theta)}=\int\,\sin(\theta)\,d\theta=-\cos(\theta)+C_1=-\sqrt{1-\sin^2(\theta)}+C_1=-\sqrt{1-x^2}+C$. Sustituyendo este resultado en (1), llegamos a $I=x\cdot \text{arcsin}(x)-(-\sqrt{1-x^2})+C=x\cdot \text{arcsin}(x)+\sqrt{1-x^2}+C$ $\diamond$

Integrales indefinidas

Resolvamos la siguiente integral indefinida (calculemos la familia de primitivas asociada a la función del integrando): $$\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx$$ que es un interesante ejercicio para practicar, en este caso, el método de integración de por partes

Observemos que la función integrando, $x\,\ln(x)$, es el producto de dos funciones elementales bien distintas, lo cual nos lleva a decidirno por utilizar la técnica de integración por partes: $$\displaystyle \int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$$

Ensayemos la siguiente agrupación, $u:=x$ y $dv:=\ln(x)\,dx$. Entonces, $du=(x)'\,dx = 1\cdot dx=dx$ y $\displaystyle v=\int\,\ln(x)\,dx$; esta integral que nos permitirá conocer $v$, podemos integrarla a su vez empleando también el método de por partes, $\displaystyle \int t\,dw=t\,w-\int\,w\,dt$, mediante la siguiente agrupación: $t:=\ln(x) \therefore dt=(\ln(x))'\,dx=\dfrac{1}{x}\,dx$ y $dw:=dx \therefore w=x$, con lo cual $\displaystyle v=x\,\ln(x)-\int\,x\,\dfrac{1}{x}\,dx+\text{constante}=x\,\ln(x)-x+\text{constante}=x\,(\ln(x)-1)+\text{constante}$, pudiendo elegir cualquier valor para la constante de integración, que es arbitraria, pues nos basta con encontrar una primitiva; pongamos que le asignemos el valor cero, entonces dicha primitiva es $v=x\,(\ln(x)-1)$

Así las cosas, $\displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx=:\int u\,dv=u\,v-\int\,v\,du=x\,\left(x\,(\ln(x)-1)\right)-\int\,x\,(\ln(x)-1)\,dx=$
  $x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\int\,x\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)-\int\,x\,\ln(x)\,dx+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
    $ \Rightarrow 2\,\int\,x\,\ln(x)\,dx = x^2\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{2}\,x^2+\text{constante} \Rightarrow$
      $ \Rightarrow \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{2}\,(\ln(x)-1)+\dfrac{1}{4}\,x^2+C$
y compactando un poco las expresiones, $$ \displaystyle \int\,x\,\ln(x)\,dx = \dfrac{x^2}{4}\,\left[2\,(\ln(x)-1)+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-2+1\right]+C=\dfrac{x^2}{4}\,\left[\ln(x^2)-1\right]+C\,,\,\forall C\in \mathbb{R}$$ siendo $C$ la constante (de valor arbitrario) de integración. $\diamond$

Ejemplo de cálculo de una integral indefinida por el método de por partes, que da lugar a una relación recursiva

ENUNCIADO. Calcúlese la integral indefinida $$\int\,\sin(\ln\,x)\,dx$$

SOLUCIÓN. Vamos a integrarla por el método de por partes. Recordemos que consiste en los siguiente: $$\int\,u\,dv=u\,v-\int\,v\,du \quad \quad (1)$$
Realizamos la siguiente asociación: $$u:=\sin\,(\ln\,x)\Rightarrow du=\dfrac{1}{x}\,\cos\,(\ln\,x)\,dx $$ $$dv:=dx \Rightarrow v=x$$ Entonces, por (1), podemos escribir:
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\dfrac{1}{x}\cdot x\,\cos\,(\ln\,x)\,dx$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\cos\,(\ln\,x)\,dx \quad \quad (2)$
La integral del segundo término del segundo miembro, $\displaystyle \int\,\cos\,(\ln\,x)\,dx$, es similar a la integral pedida, por lo que procedemos a calcularla empleando también el método de por partes, con la siguiente asociación: $$w:=\cos\,(\ln\,x)\Rightarrow du=-\dfrac{1}{x}\,\sin\,(\ln\,x)\,dx $$ $$dt:=dx \Rightarrow v=x$$ por lo que $$\int\,w\,dt=w\,t-\int\,t\,dw$$ y por tanto,
$\int\,\cos(\ln\,x)\,dx=$
  $\displaystyle =\int\,\cos(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\int\,\dfrac{1}{x}\cdot x\,(-\sin\,(\ln\,x))\,dx$
  $\displaystyle =\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\cos\,(\ln\,x)+\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx$
Sustituyendo este resultado en (2), llegamos a
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)-\left( x\,\cos\,(\ln\,x)+\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx \right)$
esto es,
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)-\int\,\sin\,(\ln\,x)\,dx$
con lo cual,
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx+\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)$
y por tanto
$\displaystyle 2\,\int\,\sin(\ln\,x)\,dx=x\,\sin\,(\ln\,x)- x\,\cos\,(\ln\,x)$
luego
$\displaystyle \int\,\sin(\ln\,x)\,dx=\dfrac{x}{2}\,\left( \sin\,(\ln\,x)- \cos\,(\ln\,x) \right) + C$
$\square$

Integración por partes

ENUNCIADO. Calcular la familia de primitivas asociada a la función $f(t)=\ln\,t$

SOLUCIÓN. $\displaystyle I:=\int\,\ln\,t\,dt \overset{(1)}{=}t\,\ln\,t-\int\,t\cdot \dfrac{1}{t}\,dx=$
$=t\,\ln\,t-t+C=t\,(\ln\,t-1)+C$

--- (1) Nota: Integrando por el método de por partes, que, como es sabido, nos da el siguiente resultado: $\displaystyle \int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$
    En este problema designamos $u:=\ln\,t$ con lo cual $du = \dfrac{1}{t}\,dt$
    y $dv:=dt$ y por tanto $v=t$

$\diamond$

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Solución:
Utilizaremos en este caso la técnica de integración por partes
    $\int \, u\,dv = u\,v -\int\,v\,du$
Designando:
    $u=\arcsin{x} \Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
    $dv=dx \Rightarrow v=x$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}-\int\,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad \quad \quad (1)$
Calcularemos ahora la integral del segundo miembro, haciendo el cambio de variable $x=\sin{w} \Rightarrow dx=\cos{w}\,dw$, con lo cual
   
$\displaystyle \int\,\dfrac{x \,dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\int \,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\sqrt{1-\sin^2 \,w}}=
\int\,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\cos{w}}=\int\,\sin{w}\,dw$
        $=-\cos{w}+k_1 = \{\text{deshaciendo el cambio}\}=-\sqrt{1-x^2}+k_2$
Y, sustituyendo este resultado en (1), llegamos a
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$
$\square$

[nota del autor]