Combinaciones monarias, binarias y ternarias con repetición de los elementos del conjunto $\{a,b,c,d\}$

ENUNCIADO. Escribir todas las combinaciones monarias, binarias y ternarias con repetición de los elementos del conjunto $\{a,b,c,d\}$ y calcular el número de las mismas.

SOLUCIÓN.
Combinaciones monarias con repetición.
Es evidente que las combinaciones monarias ( de orden $1$ ) con repetición coinciden con los elementos del conjunto dado, y por tanto $\displaystyle \text{CR}_{1,4}=\binom{1+4-1}{4-1}=\binom{4}{3}=4$, que son $\{a,b,c,d\}$

Combinaciones binarias con repetición.
Las combinaciones binarias ( de orden $2$ ) con repetición se obtienen a partir de las monarias ( de orden $1$ ), escribiendo a la derecha de cada una el último elemento y cada uno de los que le siguen en el orden natural, esto es:

{
aa ab ac ad
   bb bc bd
      cc cd
         dd
}

cuyo número es $10$ y que, sin recurrir al principio de recuento aditivo, se puede calcular de la forma $\displaystyle \text{CR}_{2,4}=\binom{2+4-1}{4-1}=\binom{5}{3}=10$


Combinaciones ternarias con repetición.
Las combinaciones ternarias ( de orden $3$ ) con repetición se obtienen a partir de las binarias ( de orden $2$ ), escribiendo a la derecha de cada una el último elemento y cada uno de los que le siguen en el orden natural, esto es:

{
aaa aab aac aad        bbb bbc bbd        ccc ccd         dd 
    abb abc abd            bcc bcd            cdd  
        acc acd                bdd
            add
}

cuyo número es $20$ y que, sin recurrir al principio de recuento aditivo, se puede calcular de la forma $\displaystyle \text{CR}_{3,4}=\binom{3+4-1}{3}=\binom{6}{3}=20$

Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $k$ clases, $CR_{k,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$ $\square$