¿ De cuántas maneras podemos distribuir m lápices distintos entre k personas ( o m bolas distintas entre k urnas ) ?

ENUNCIADO. ¿ De cuántas maneras podemos distribuir $m$ lápices, cada uno etiquetado con un número para poder distinguirlos, entre $k$ personas ?

SOLUCIÓN. Planteémonos primero un problema parecido, con números concretos y que no sean éstos muy grandes, para facilitar la comprensión del resultado que encontraremos sin muchas dificultades. Pongamos que queremos distribuir tres lápices, $\ell_1$, $\ell_2$ y $\ell_3$, entre dos personas. Hay $2$ posibilidades para asignar el lápiz $\ell_1$ ( pues podemos elegir dos personas ); también hay otras $2$ posibilidades a la hora de asignar el segundo lápiz $\ell_2$ ( otra vez podemos elegir a cualquiera de las dos personas ), y, desde luego, también hay $2$ posibilidades cando tenemos que asignar el tercer lápiz $\ell_1$ ( otra vez, cualquiera de las dos personas ). Como dichas elecciones las realizamos independientemente unas de otras, por el principio de independencia hay $2\cdot 2 \cdot 2 =2^3=8$ maneras distintas de distribuir los tres lápices.

Generalizando ahora el el problema, es evidente que el número de maneras de distribuir $m$ lápices distintos entre $k$ personas ( o análogamente, $m$ bolas distintas ( etiquetadas con un número, por ejemplo ) en $k$ urnas ) es $k^m$

Démonos cuenta de que al ser relevante el orden en el reparto ( que consite en asignar una persona a cada lápiz, pudiendo volver a elegir una persona, ya asignada, a otro de los lápices ), estamos ante un problema de variaciones, y al poder repetir ( la persona que se asigna a cada lápiz ), diremos que es un problema de variaciones con repetición, $\text{VR}_{k,m}$ ( que en algunos libros se nota también de la forma $\text{VR}_{k}^{m}$ .

Observación. En estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices, sino las personas, y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas, sino los lápices.

Observación. Si pretendemos aplicar las fórmulas sin mucha reflexión ( lo cual no es acosejable en absoluto ), en estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices ( o las bolas ), sino las personas ( o las urnas ), y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas ( urnas ), sino los lápices ( bolas ), ya que lo que estamos haciendo es asignar urna a cada bola ( o persona a cada lápiz ). Así, por ejemplo, la respuesta a la pregunta ¿ de cuántas maneras podemos repartir $6$ bolas idénticas ( $6$ lápices idénticos ) en $10$ urnas ( entre $10$ personas ) ? es de $\displaystyle \text{VR}_{10,6}=10^6=1\,000\,000$ de maneras distintas $\square$