Aplicaciones del cálculo integral

Enunciado:
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en gramos/hora y los valores de $t$ en horas ( h ). Se pide:
  a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ?
  b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ?

Resolución:

a)
Siendo $f(t)$ la función que expresa la cantidad de sustancia diluida por unidad de tiempo, la cantidad de sustancia diluida en un instante de tiempo $t$ viene dada por la familia de primitivas de $f(t)$, esto es, por el conjunto de funciones $F(t)+C$, donde $(F(t)+C)'=f(t)$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), en otras palabras, por $\displaystyle \int\,f(t)\,dt=\int e^{0'001\,t}\,dt$, es decir, $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\,t}+C$, donde $C$ es la constante de integración.


Entonces, como en el instante inicial la cantidad de sustancia en el líquido es nula, $F(0)=0$, podemos escribir que $\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot 0}+C=0 \Rightarrow \dfrac{1}{0,001}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{0,001}$ con lo cual hemos fijado la constante de integración de acuerdo con la condición inicial del proceso, y, por tanto, la función que describe la cantidad de sustancia, dada dicha condición inicial, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\, t}-\dfrac{1}{0,001}\,$, que, expresada de forma más compacta, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\, t}-1\big)$.


La cantidad de sustancia diluida en el líquido que contiene el recipiente en el instante $t=4 \, \text{h}$ es $F(4)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)$ y la cantidad de sustancia en $t=1\,\text{h}$ es $F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, luego entre un instante y otro la cantidad de dicha sustancia viene dada por $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)-\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, y, simplificando, obtenemos $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

Nota: Podemos llegar al mismo resultado con más brevedad calculando directamente el valor de la integral definida ( Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ) de la función $f(t)$ integrada entre $t=1$ y $t=4$ tal como sigue $\displaystyle \int_{1}^{4}\,e^{0'001\,t}\,dt=\left[ \dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot t} \right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

b)
Veamos, ahora, cuáles son las unidades en las que se expresa la constante del exponente ( al que denotamos por $\tau$ y cuyo valor es $0,001$ ). Como la cantidad del exponente de $\tau \cdot t$, debe ser adimensional, $[\tau]=[T]^{-1}$, luego las unidades de $\tau$ son $\text{h}^{-1}$, o lo que es lo mismo, $1/h$ es decir, $\tau = 0,001 \, \text{h}^{-1}$

$\square$