Integrales definida de una función par y de una función impar en dominios simétricos

Si una función $f(x)$ es impar, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=-f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica con respecto del origen de coordenadas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=0$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=0$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=-\cos\,\pi/2-(-\cos\,(-\pi/2))=0-0=0$$

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Si una función $f(x)$ es par, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica por reflexión con respecto del eje de abscisas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{0}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{-a}^{0}\,f(x)\,dx$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\,\int_{0}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\cdot (\sin\,\pi/2-\sin\,0)=2\cdot (1-0)=2$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=\sin\,(\pi/2)-(\sin\,(-\pi/2))=1-(-1)=2$$

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