Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de la longitud de un segmento de curva

ENUNCIADO. Calcúlese la longitud del trozo de curva correspondiente a la función cuadrática $f(x)=x^2$ entre los puntos de abscisas $x=0$ y $x=1$

SOLUCIÓN.
Sea $\Delta\,\ell$ la longitud de un trozo ( pequeño ) de curva, entonces tenemos que $\Delta\,\ell \approx \sqrt{\Delta\,x+\Delta\,y}$ ( aproximando a un triángulo rectángulo el triángulo con los mismos catetos y con un segemento curvilíneo donde debería estar la hipotenusa ) con lo cual si $\Delta\,x \rightarrow 0$ ( haciendo abstracción a cantidades infinitesimales ), $$ds = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$$ Ahora bien, como $dy=f'(x=\,dx$ lo anterior se puede escribir de la forma $$ds = \sqrt{(dx)^2+(f'(x))^2\,(dx)^2} = \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ Así que $$\displaystyle \int\,ds = \int\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ luego la longitud de un trozo de curva entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ ( $a \prec b$ ) es igual al valor de la integral definida $$\int_{a}^{b}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$

Así pues, la longitud del trozo de curva, $s$, entre los puntos indicados viene dado por el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$$ esto es $$s=\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx=\displaystyle \int_{0}^{1}\,\sqrt{1+(2x)^2}\,dx$$ Una función primitiva de la función del integrando es $$F(x)\overset{(1)}{=}\dfrac{1}{4}\,\ln\left(\left| \sqrt{4\,x^2+1}+2\,x\right|\right)+\dfrac{1}{2}\,x\,\sqrt{4\,x^2+1}$$ Aplicando ahora la regla de Barrow, encontramos: $s=\displaystyle F(1)-F(0) =\dfrac{1}{4}\,\ln\,(\sqrt{5}+2)+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

Notas:
(1) Para no entorpecer el ejercicio con el trabajo de cálculo de la integral indefinida, y a modo de "andamiaje", sugiero que utilicéis las aplicaciones de cálculo simbólico de GeoGebra, o bien de MAXIMA, para encontrar dicha primitiva

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