Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$ $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$ encontrar el punto $R$ de la recta $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Enunciado:
Dados los puntos del espacio euclídeo $\mathbb{R}^3$
    $P(1,0,-1)$ i $Q(-1,2,3)$
encontrar el punto $R$ de la recta
    $r:\,\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y+4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
que cumpla que el triángulo $\triangle{PQR}$ sea isósceles, siendo $\overline{PR}$ i $\overline{QR}$ los lados de igual longitud.

Solución:
Las componentes de un vector director de $r$ - recordemos que las coordenadas de un vector, expresado éste respecto a la base canónica, suelen ser designadas como componentes del mismo - vienen dados por los denominadores de la ecuación en forma continua de la recta, por tanto
    $\vec{u}=(2,3,-1)$
Si el triángulo $\triangle{PQR}$ es isósceles y los lados iguales son $\overline{PR}$ y $\overline{QR}$ deberá cumplirse
    $\angle ( \vec{u},\vec{RP} )=\pi-\angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \Rightarrow \cos \big( \angle ( \vec{u},\vec{RP} ) \big)=-\cos \big ( \angle ( \vec{u},\vec{RQ} ) \big)$
luego, según la definición del producto escalar euclídeo,
    $\dfrac{[\vec{u},\vec{RP}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RP}||}=-\dfrac{[\vec{u},\vec{RQ}]}{||\vec{u}||\,||\vec{RQ}||}$
y como
    $||\vec{RP}||=||\vec{RQ}||$
podemos escrbir
    $\left \langle \vec{u},\vec{RP} \right \rangle=- \left \langle \vec{u},\vec{RQ} \right \rangle\quad \quad \quad (*)$
    ====
    Nota:
        $\left \langle.\;,\;.\right \rangle$ denota el producto escalar usual ( expresando los vectores respecto de la base canónica ), es decir, $\left \langle v,w \right \rangle=v_{x}\,w_{x}+v_{y}\,w_{y}+v_{z}\,w_{z}$
    ====
de aquí, si $R(x_R,y_R,z_R)$ y teniendo en cuenta los vectores de posición y su relación vectorial
    $\vec{RP}=\vec{OP}-\vec{OR}$ i $\vec{RQ}=\vec{OQ}-\vec{OR}$
podemos escribir:
    $\vec{RP}=(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)$
y
    $\vec{RQ}=(-1-x_R,2-y_R,3-z_R)$

calculando, ahora, el valor del producto escalar de ambos miembros de (*), llegamos a:
    $\left \langle\vec{u},\vec{RP} \right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(1-x_R,0-y_R,-1-z_R)\right \rangle$
          $=2\,(1-x_R)-3\,y_R+(1+z_R)$

    $\left \langle\vec{u},\vec{RQ}\right \rangle=\left \langle(2,3,-1),(-1-x_R,2-y_R,3-z_R) \right \rangle$
          $=-2\,(1+x_R)+3\,(2-y_R)-(3-z_R)$

simplificiando e igualando las dos expresiones, podemos escribir
    $2\,x_R+3\,y_R-z_R=2\quad \quad \quad (1)$

Por otro lado, teniendo en cuenta que $R(x_R,y_R,z_R)$ es un punto de la recta $r$, se cumple la doble igualdad de la ecuación en forma continua de la recta:

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{y_R+4}{3} \quad \quad \quad (2)$

    $\dfrac{x_R+3}{2}=\dfrac{z_R-3}{-1} \quad \quad \quad (3)$

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3), encontramos, finalmente, les coordenadas del punto $R$. El sistema queda,

$\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ x_R & & &+&2\,z_R &=&3\\3\,x_R & -&2\,y_R && &=&-1\\ \end{matrix}\right\}$

que vamos a reducir por Gauss, procediendo a realizar las siguientes operaciones elementales entre ecuaciones:

    $2\,e_2-e_1 \rightarrow e_2$
    $3\,e_1-e_e \rightarrow e_3$

obteniendo el sistema equivalente

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & +&3\,y_R &-& z_R&=&2\\ & &-3\,y_R&+&5\,z_R&=&4\\ & &13\,y_R &-&3\,z_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

por comodidad, intercambiamos el orden de la segunda y tercera incógnitas:
    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &-3\,z_R &+&13\,y_R &=&8\\ \end{matrix}\right\}$

y, finalmente, haciendo
    $5\,e_3+3\,e_2 \rightarrow e_3$
llegamos al sistema escalonado ( reducido )

    $\left.\begin{matrix}2\,x_R & -&z_R &+& 3\,y_R&=&2\\ & &5\,z_R&-&3\,y_R&=&4\\ & &&&56\,y_R &=&52\\ \end{matrix}\right\}$

cuyo número de ecuaciones no identicamente nulas es $3$, luego el número de ecuaciones linealmente independientes es $3$, que coincide con el número de incógnitas, luego, por el Teorema de Rouché, el sistema es compatible determinado ( tiene solución única ), tal como cabía esperar. Veamos cuál es la solución.

De la tercera ecuación se obtiene el valor de $y_R$
    $y_R=\dfrac{52}{56}=\dfrac{13}{14}$

sustituyendo este valor en la segunda,
    $z_R=\dfrac{4+3\cdot \frac{13}{14}}{5}=\dfrac{19}{14}$

y, a su vez, sustituyendo ambos en la primera ecuación,
    $x_R=\dfrac{2-3\cdot \frac{13}{14}+\frac{19}{14}}{2}=\dfrac{2}{7}$

$\square$

[nota del autor]

Sobre los errores

Desde luego, todos nos equivocamos. Pero, ciertamente, el error, bien empleado, constituye una herramienta de aprendizaje muy valiosa. Las erratas que el lector pudiera encontrar pueden ser debidas a la forma de exposición ( incluyendo los errores tipográficos ), o bien al cálculo.

Cuando, descubro que hay alguna errata en algo que ya había expuesto - esto sucede o bien al hacer las revisiones y actualizaciones de dichos materiales, o bien gracias a la amable colaboración de los alumnos ( que me lo comentan en clase ), o a la de otros usuarios de este sitio ( que me lo comentan por correo electrónico ), a los que les doy las gracias de antemano -, me apresuro a realizar los cambios y correcciones oportunas; sin embargo, a veces pasa algún tiempo hasta que no me doy cuenta, por lo que, de antemano, pido disculpas a los lectores, por si se diera el caso.

[nota del autor]

Sobre los tipos de ejercicios

Los ejercicios que expongo son de diversa índole: a) problemas, que representan el tipo de ejercicio de mayor dificultad, pues trabajar con ellos requiere: comprender la naturaleza de los mismos, elaborar estrategias y enfoques, ser capaces de hacer los cálculos necesarios, y cotejar y analizar los resultados encontrados, teniendo que volver a empezar si algo no funcionara bien al final de dicho proceso; b) tareas rutinarias de cálculo en las cuales se utilizan las diversas técnicas y resultados de la teoría que, por supuesto, es necesario aprender y comprender, pues son indispensables para poder trabajar con los problemas; y, c) cuestiones, en las que intervienen definiciones, y demostraciones de resultados, que solemos emplear en las tareas rutinarias y en los problemas. Todos los ejercicios están resueltos y comentados; a veces, de varias maneras, para que se puedan ver las cosas desde varios enfoques; distintos, pero conducentes a unas mismas conclusiones y resultados y, por ello, enriquecedores.

[nota del autor]

Aprender y ayudar a aprender con las dudas

Con estos materiales espero ayudar resolver las viejas dudas a mis alumnos con mayor eficacia, reforzando, pues, mi labor en el aula; pero, también, deseo que se planteen nuevas preguntas y nuevos retos, para, así, no dejar de aprender; ello, por supuesto, es aplicable a todo en la vida, no sólo al aprendizaje de las matemáticas. Con todo ello yo, por supuesto, también aprendo. A veces, creemos haber "entendido" algo, pero tarde o temprano, barruntado sobre tales cosas, y a raíz de algo que requiera su comprensión, uno descubre que no es así, y, en realidad, se hace evidente que aún faltaban piezas por encajar, por lo que hay que volver sobre nuestros pasos, para poder seguir avanzando. Así, pues, el hecho de aprender es una aventura; esforzada, pero también gratificante desde el punto de vista emocional e intelectual, a la que no se debería renunciar.

[nota del autor]

Ejercicio de: a) cálculo de la recta tangente; b) cálculo de la integral definida

Enunciado:
Dada la función
$f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$
se pide:
  a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=0$
  b) Calcular
          $\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx$

Resolución:
Sea la recta tangente $\text{r.t. en O}:\,y=m\,x+k$ pedida, siendo $m=f'(0)$. Procederemos pues a calcular la función derivada de $f(x)$. Por la regla del cociente,
$f'(x)=\dfrac{(x)'\,(x^2+1)-(x^2+1)'\,x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1\cdot (x^2+1)-2\,x\cdot x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$
luego
$f'(0)=\dfrac{0^2+1}{(0^2+1)^2}=1$
y, por tanto, $m=1$

Procedemos ahora a calcular la ordenada en el origen $k$ de la recta tangente. Como $f(0)$, que es igual a
$\dfrac{0}{0^2+1}=0$
es la ordenada que corresponde a la abscisa $0$, que es la del punto de tangencia, y, además, ha de ser la también la ordenada de la propia recta tangente, deducimos que $k=0$. En otras palabras, la recta tangente que buscamos pasa por el origen de coordenadas; su ecuación es $\text{r.t. en O}:\, y=x$, como se muestra en la siguiente figura.

  b)
Calculemos una primitiva de
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx$
para ello, expresamos transformamos previamente la función del integrando $x\,f(x)$
esto es
$\dfrac{x^2}{x^2+1}$
puede espresarse de la forma
$1+\dfrac{x^2}{x^2+1}-1=1-\dfrac{1}{x^2+1}$
luego
$\displaystyle \int\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int\,\big(1-\dfrac{1}{x^2+1}\big)\,dx=\displaystyle \int \,dx-\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+1}=x+\arctan{x}+C$
Por consiguiente, por la regla de Barrow
$\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,f(x)\,dx=\displaystyle \int \dfrac{x^2}{x^2+1}\,dx=$
        $=[x+\arctan{x}]_{0}^{1}=(1-0)-(\arctan 1 -\arctan 0)= 1-\dfrac{\pi}{4}$
donde hemos considerado el ángulo $x$ en el primer cuadrante: $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$

$\square$

[nota del autor]

Ejemplo de análisis de una función real de una variable real

Enunciado:
Dada la función
    $f(x)=\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}$
se pide:
  a) Hallar las asíntotas de su gráfica
  b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión
  c) Esbozar la gráfica de la función

Resolución:
  a)
Observemos que la función no es continua en todos los puntos de $\mathbb{R}$ a excepción de $x=4$ y $x=-1$ pues al anularse los denominadores de los términos respectivos, éstos tienden a $\pm \infty$ cuando $x$ tiende a estas dos valores. Por lo tanto, la función tiene las siguientes asíntotas verticales: $r:x=4$ y $s:x=-1$. Por otra parte, vemos que
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{4}{x-4}+\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{27}{2x+2}=\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}=0$
luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal de $f(x)$
Un examen de asíntotas oblicuas $\text{a.o}:y=mx+k$ nos lleva a concluir que esta función no las tiene; en efecto, al determinar la pendiente $m$ vemos que es nula. En efecto, calculando la función derivada de $f(x)$
$f'(x)=\Big(\dfrac{4}{x-4}\Big)'+\Big(\dfrac{27}{2x+2}\Big)'=\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-27\cdot 2}{(2x+2)^2}$
y pasando al límite
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-54}{(2x+2)^2}=0$
resultado que simplemente confirma la existencia de una asíntota horizontal, que ya hemos encontrado, pero no hay otras, aparte de las dos verticales.

-oOo-

  b)
Veamos los puntos de crecimiento nulo imponiendo la condición
$f'(x)=0$
que nos lleva a resolver la ecuación
$\dfrac{4}{(x-4)^2}+\dfrac{54}{(2x+2)^2}=0 \Leftrightarrow 7x^2-40x+88=0$
ecuación que no tiene solución en $\mathbb{R}$ pues el discriminante
$(-40)^2-4\cdot 88 \cdot 7$ es menor que cero, luego al no haber puntos donde la función pase de ser creciente a decreciente o viceversa, ésta es monótona, siendo su carácter decreciente ya que al aumentar el valor de la abscisa disminuye el valor de la ordenada en todo el dominio de continuidad ( que es $\mathbb{R}-\{-1,4\}$ ); conclusión que ya se entreveía atendiendo a este sólo razonamiento antes de intentar encontrar ceros de $f'(x)$.

A continuación, veamos si la función tiene puntos de inflexión ( en los que cambia el signo de la curvatura del gráfico ), ésto es, el de la segunda derivada. Por ello, calculemos la función segunda derivada e impongamos que sea cero para encontrar dichos puntos. La segunda derivada es
$f''(x)=\big(f'(x)\big)'=\bigg(\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-54}{(2x+2)^2}\bigg)'=\dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}$
luego
$f''(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}=0 \Leftrightarrow 35x^3-300x^2+1320x-1270=0$
ecuación polinómica de tercer grado de la que $x=2$ es una posible raíz entera ( por ser un divisor de $1270$ ) y, en efecto, dividiendo por Ruffini, y, por el teorema del resto, vemos que efectivamente lo es. No hay ninguna más, pues el polinomio cociente, que es $35x^2-230x+860$, es primo ( al ser su discriminante de la ecuación $35x^2-230x+860=0$, menor que cero ).
La ordenada del punto de inflexión es
$f(2)=\dfrac{4}{2-4}+\dfrac{27}{2\cdot 2+2}=\dfrac{5}{2}$
luego el punto de inflexión ( que denotaremos por $B$ ) tiene coordenadas $B(2,\frac{5}{2})$.

A partir de este resultado podemos escribir los intervalos de concavidad y convexidad.

Intervalos de convexidad ( signo negativo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(-\infty, -1) \subset \mathbb{R}$
      $(2, 4) \subset \mathbb{R}$
      $(4, +\infty) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de concavidad ( signo positivo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(1, 2) \subset \mathbb{R}$

-oOo-

  c)
Para trazar el esquema del gráfico, determinaremos también los puntos de corte con los ejes. La ordenada en el origen es $f(0)=\dfrac{4}{0-4}+\dfrac{27}{2\cdot 0+2}=\dfrac{25}{2}$. Vamos a examinar ahora los ceros/raíces de la función $f(x)$; para ello, hagamos que ésta sea nula:
$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=0 \Leftrightarrow 35x-100=0$
por tanto encontramos una sola raiz, $x=\frac{20}{7}$
Los puntos buscados son, por tanto
$A(\frac{20}{7},0)$
y
$C(0,\frac{25}{2}$

Ahora, podemos ya esbozar el trazo de la función:

$\square$

Plano tangente a la superficie de una esfera

Enunciado:
Dados el punto $P(1,2,-1)$ y el plano $\pi \equiv x+2y-2z+2=0$, sea $\mathcal{S}$ la esfera que es tangente al plano $\pi$ en un punto $P'$ de modo que el segmento $PP'$ es uno de sus diámetros. Se pide:
  a) Hallar el punto de tangencia $P'$
  b) Hallar la ecuación de $\mathcal{S}$

Resolución:
  a)
Un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{u}=(1,2,-2)$ y, como $\overrightarrow{PP'} \propto \vec{u}$ ( al ser $PP'$ un diámetro de $\pi$ ), existe un escalar $k$ tal que $\overrightarrow{PP'}=k\,\vec{u}$, es decir, denotando por $(x',y',z')$ las coordenadas de $P'$, podemos escribir

$\left\{\begin{matrix} x'-1 &=&k \\ y'-2 &=&2\,k \\ z'-(-1) &=&-k \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x'-1 &=&\dfrac{y'-2}{2} \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\ x'-1 &=&-(x'-(-1)) \quad \quad (2) \end{matrix} \right.$

Por otra parte
$P'(x',y',z') \in \pi$
luego debe cumplirse $x'+2y'-2z'+2=0 \quad \quad \quad (3)$

Entonces, podemos calcular las coordenadas de $P'$ resolviendo el sistema formado por las ecuaciones (1), (2) y (3); que, ordenado y simplificado, lo podemos escribir de la forma
$\left. \begin{matrix} x'&+&2\,y'&-&2\,z'&=&-2 \\ 2\,x'&-&y'&&&=&0 \\ x'&&&+&z'&=&0 \\ \end{matrix} \right\}$

De la tercera ecuación, $x'=-z'$ y sustituyendo en las dos primeras llegamos a
$\left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 2\,z'&+&y'&=&0 \end{matrix} \right\} \underset{(2\,e_2+e_1\rightarrow e_2)}{\sim} \left. \begin{matrix} 3\,z'&-&2\,y'&=&2 \\ 7\,z'&&&=&2 \end{matrix} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{matrix} x'=-\frac{2}{7} \\\\ y'=-\frac{4}{7} \\\\ z'=\frac{2}{7} \end{matrix} \right\}$

luego el punto de tangencia de $\pi$ y $\mathcal{S}$ es
      $P'\big(-\frac{2}{7},-\frac{4}{7},\frac{2}{7}\big)$

  b) La ecuación de la superfíce esférica es $ S\equiv (x-x_{C})^2+(y-y_{C})^2+(z-z_{C})^2=r^2 \quad \quad \quad (4)$
siendo $C(x_C,y_C,z_C)$ el centro de la esfera y $r$ el radio de la misma.

Procedamos pues a calcular las coordenada de $C$ y el valor de $r$
El punto $C$ es el punto medio del segmento $PP'$, y, siendo $P(1,2,-1)$, llegamos a

$x_C=\dfrac{x_P+x_P'}{2}=\dfrac{-\frac{2}{7}+1}{2}=\frac{5}{14}$

$y_C=\dfrac{y_P+y_P'}{2}=\dfrac{-\frac{4}{7}+2}{2}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$

$z_C=\dfrac{z_P+z_P'}{2}=\dfrac{\frac{2}{7}+(-1)}{2}=-\frac{5}{14}$

y, conociendo las coordenadas de $C$ y $P'$ podemos ahora calcular el valor del radio $r$ de la esfera

$r=\left\| \overrightarrow{CP'}\right\|=\left| \sqrt{ \big(1-\frac{5}{14}\big)^2+\big(2-\frac{10}{14}\big)^2+\big(-1-(-\frac{5}{14})\big)^2) } \right|= \frac{9}{14}\,\left|\sqrt{6}\right|$

Por tanto, sustituyendo las coordenadas de $C$ y el valor del radio $r$ en (4), llegamos a la ecuación pedida de la superficie de la esfera

$S \equiv \big(x-\frac{5}{14}\big)^2+\big(y-\frac{5}{7}\big)^2+\big(z-(-\frac{5}{14})\big)^2=\frac{243}{98}$

$\square$

[nota del autor]

Matrices ortogonales

Enunciado:
Sea la matriz
    $A=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}$
  a) ¿ Qué significa que la matriz $B$ sea la matriu inversa de $A$ ?
  b) Encontrar el valor de $p$ para que la matriz inversa de $A$ sea igual a la matriz traspuesta $A$

a)       Resolución:
$B=A^{-1}$ si, y sólo si, $A$ es una matrizregular ( invertible ) y, por tanto, si $\det(A)\neq 0$, de tal manera que $B\,A=A\,B=I_3$, donde $I_3$ es la matriz identidad d'orden $3$


b)       Resolución:
Recordemos que
$A^{-1}=\dfrac{(\text{Adj}(A))^t}{\text{det}(A}$
en otras palabras
$A^{-1}=\Big(\dfrac{\alpha_{ij}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}^{t}=\Big(\dfrac{\alpha_{ji}}{\text{det}(A)}\Big)_{3 \times 3}$
  para $i,j=1,2,3$
donde los cofactores $\alpha_{ij}$ se calculan de la siguiente manera
$\alpha_{ij}=(-1)^{i+j}\,A_{ij}$
siendo $A_{ij}$ los adjuntos ( menores de orden $n-1$, donde, en este caso, $n=3$ ) que se obtienen de los elementos que quedan al suprimir la fila y la columna del elemento $a_{ij}$ de la matriz $A$

Observemos que
$\alpha_{12}=-\begin{vmatrix} 0 & -\frac{2}{\sqrt{6}}\\ p & -\frac{1}{\sqrt{6}}\end{vmatrix}=-\frac{2p}{\sqrt{6}}$
y teniendo en cuenta que
$\text{det}(A)=\begin{vmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \\ 0&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=\{f_2+f_3\rightarrow f_2; f_1+f_3 \rightarrow f_1\}$

        $=\begin{vmatrix}p+\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\ \\ p&0 &-\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \\ p&-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\,\begin{vmatrix} 0 &-\frac{2}{\sqrt{6}} \\ \\ p& -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{vmatrix}=-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}$
el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz inversa es
$\dfrac{-\frac{2p}{\sqrt{6}}}{-(p+\frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}}$
y como se nos dice que $A^{-1}$ es igual a $A^t$, este valor deberá coincidir con el elemento de la segunda fila y primera columna de la matriz traspuesta de $A$, que es
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
es decir
$\dfrac{\frac{2p}{\sqrt{6}}}{(p+\frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
de donde, resolviendo esta ecuación de primer grado, obtenemos el valor que toma $p$
$p=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

b)       Resolución alternativa (ampliación):

Si $A^t=A^{-1}$, entonces $A$ es una matriz ortogonal, luego los vectores de componentes (Nota 1)
    $u_1=(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p)$
    $u_2=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})$
    $u_3=(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})$
dispuestos en columnas (y en el orden indicado), que forman los elementos de la matriz $A$, son ortogonales dos a dos y por consiguiente los valores del producte escalar euclídeo $\left \langle .,. \right \rangle$ ( respecte de la base canónica) son:

(i)    $\left \langle u_1,u_2 \right \rangle=0$
(ii)     $\left \langle u_1,u_3\right \rangle=0$
(iii)     $\left \langle u_2,u_3 \right \rangle=0$

En efecto, se comprueba que
(iii)     $\left \langle u_2,u_3 \right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})]$
        $=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \big(-\frac{2}{\sqrt{6}}\big)+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}=2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}-2\,\frac{1}{\sqrt{3}\,\sqrt{6}}=0$

Luego de (i) o bien de (ii), podemos deducir el valor de $p$. Así, imponiendo la condición (i) encontramos que
    $\left \langle u_1,u_2 \right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}})]=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}-\dfrac{p}{\sqrt{3}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

Observación:
Como podemos ver a continuación, de (ii) se obtiene también el resultado:
    $\left \langle u_1,u_3\right \rangle=[(\frac{1}{\sqrt{2}},0,p),(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})]=\dfrac{1}{\sqrt{2}\sqrt{6}}-\dfrac{p}{\sqrt{6}}\Rightarrow p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\square$

        Nota 1 (coordenadas/componentes de un vector):
        Suponemos que las coordenadas de los vectores dados son, en realidad sus, componentes; en otras palabras, vienen referidas a la base canónica, ésto es, a la formada por los vectores ( $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ del espacio vectorial.
$\square$

[nota del autor]

Otro ejercicio de integración

Enunciado:
Sea $f(x)$ una función continua tal que
$\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=\frac{1}{2}$
Hallar
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Resolución:
Haciendo el cambio de variable
$e^{\frac{x}{2}}=u$
obtenemos
$du=(e^{\frac{x}{2}})'\,dx=\frac{1}{2}\,e^{\frac{x}{2}}\,dx$

Los nuevos límites de integración son los siguientes:
para $x=0$, $u=e^{0}=1$
para $x=2$, $u=e^{\frac{2}{2}}=e$

Luego
$\int_{0}^{2}\,f(e^{\frac{x}{2}})\,e^{\frac{x}{2}}\,dx=2\,\int_{1}^{e}\,f(u)\,du=2\cdot\frac{1}{2}=1$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de integración ( modelo de examen de las PAU )

Enunciado:
Sea $g(x)$ una función derivable tal que
$g(6)=\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
Hallar
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx$

Resolución:
Denotando por $u$ a $x-5$ ( y por tanto $du=dx$ ) y por $dv$ a $g'(x)\,dx$ ( con lo cual, $g(x)=v$ ) y teniendo en cuenta que
$\int_{a}^{b} u\,dv=[uv]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} \,v\,du ;\;\;a,b\in \mathbb{R}$
podemos escribir la integral pedida de la forma
$\int_{5}^{6}\,(x-5)\,g'(x)\,dx=[(x-5)\,g(x)]_{5}^{6}-\int_{5}^{6}\,g(x)\,dx$
$\quad=(6-5)\,g(6)-(5-5)\,g(5)-g(6)$
$\quad=g(6)-0-g(6)$
$\quad=0$
$\square$

[nota del autor]

Las matemáticas del planeta Tierra ( número de Octubre de 2013 de la revista Investigación y Ciencia)

Es muy recomendable el número de Octubre de 2013 de la revista Investigación y Ciencia, dedicado a las Matemáticas aplicadas a la ciencia global del planeta Tierra: Física y Matemática ( " ¿ qué es la realidad ? ), dinámica de fluidos de la atmósfera y los océanos, modelos climáticos, biodiversidad, evolución, propagación de enfermedades y redes sociales y cooperación.

[nota del autor]

Conjuntos bien ordenados

Se dice que un conjunto no vacío está bien ordenado si todos sus subconjuntos no vacíos tienen mínimo, esto es: si la mayor de las cotas inferiores ( o ínfimo ) de cada uno de ellos está incluida en el respectivo subconjunto. Esta propiedad de la buena ordenación es muy importante en los números naturales, pues en ella se sustenta el principio de inducción.

En efecto, el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado. No lo está, sin embargo, el conjunto de los números enteros $\mathbb{Z}$ y, por consiguiente, tampoco lo está el de los racionales $\mathbb{Q}$ ni el de los reales $\mathbb{R}$.

Para demostrar que el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ está bien ordenado expondré una sencilla y bonita demostración que puede encontrarse en muchos manuales y que contribuye a mostrar la belleza de las matemáticas. Deberemos probar pues que todos los subconjuntos no vacíos del conjunto de los números naturales tienen mínimo.

Sea $(\mathbb{N},\le)$ el conjunto de los números naturales con la relación de orden $\le$.
Sea $A$ un subconjunto no vacío cualquiera de $\mathbb{N}$, entonces cabe hacer distinción entre los siguientes casos:

(a) Si $1 \in A$, hemos terminado ya que cualquier número natural es mayor o igual que $1$, que es el menor número natural y, por tanto, el mínimo de $A$.
(b) Si $1 \notin A$, demostraremos que tiene elemento mínimo, procediendo por el método de contradicción. Sea $B$ el conjunto formado por todos los números naturales estrictamente menores que cualquier elemento de $A$ y partamos de la siguiente hipótesis: la menor de las cotas inferiores de $A$ (que denotamos por $m$) está en $B$. De dicha hipótesis se deduce que $m+1 \in A$. Por otra parte, al ser $m$ estrictamente menor que cualquier elemento $a \in A$, podemos escribir $m+1 \le a$, esto es: $m+1 \in B$, luego $m+1 \notin A$, llegando así a una contradicción y debiendo por tanto negar la hipótesis de partida, luego $m \in A$ y esto ocurre para cualquier subconjunto no vacío de $\mathbb{N}$, luego dicho conjunto posee buena ordenación.   $\square$

[nota del autor]

procesos de demostración ...

[nota del autor]

recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba que ve donada per la funció $f(x)=3\,x^4$, en el punt d'abscissa $x=-1$

Resolució:
Cal trobar els valors dels coeficients $m$ (pendent de la r.t.) i $k$ (ordenada a l'origen) de la r.t. $y=m\,x+k \quad \quad (1)$

El pendent de la r.t. $m$ en el punt d'abscissa $x=-1$ és igual al valor de la derivada de la funció per a aquest valor de la variable independent: $f^{'}(-1)$.

Calculem, per tant, la funció derivada de $f(x)=3\,x^4$, fent ús de les regles de derivació:
    $f^{'}(x)=12\,x^3$
D'aquí, traiem, doncs, el valor de $m$, que és igual a
    $f^{'}(-1)=-12$

Finalment, cal determinar el valor de $k$. Com que $P\big(-1,f(-1)\big)$ és un punt de la r.t. i també de la corba, s'ha de complir que
    $f(-1)=-12\,x+k$
i, donat que, $f(-1)=3$
    $3=-12\cdot (-1)+k$
i, aïllant $k$ d'aquesta equació
    $k=-9$

Finalment, substituint els valors trobats de $k$ i $m$ a l'expressió (1)
$\text{rt:}\,y=-12\,x-9$
$\square$

[nota del autor]

¿Qué error porcentual se comete al sustituir el seno de $20^{\circ}$ por el valor de dicho ángulo expresado en radianes ? Repetir el mismo cálculo para el caso de la tangente.

Enunciado:
¿Qué error porcentual se comete al sustituir el seno de $20^{\circ}$ por el valor de dicho ángulo expresado en radianes ? Repetir el mismo cálculo para el caso de la tangente.

Solución:

Sea el valor nominal de una cierta magnitud, $x^{*}$, y denominemos por $x$ un valor aproximado de $x^{*}$. Entonces, se define el error absoluto de la aproximación $x \approx x^{*}$ como
    $E=\left|x-x^{*}\right|$
y el error relativo de la forma
    $e=\dfrac{E}{x^{*}}\approx \dfrac{E}{x}$

  (a)
Expresemos el valor del ángulo dado en radianes:
    $20^{\circ}=20\cdot \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{9}\,\text{rad}$
entonces, al hacer la aproximación
    $\sin\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
    $E=\left|\sin\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,007046$
siendo el error relativo
    $e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\sin\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,0206 \rightarrow 2,06 \,\% $

  (b)
De la aproximación
    $\tan\,\dfrac{\pi}{9} \approx \dfrac{\pi}{9}$
obtenemos el siguiente error absoluto
    $E=\left|\tan\,\dfrac{\pi}{9}-\dfrac{\pi}{9}\right|\approx 0,014904$
siendo el error relativo
    $e=\dfrac{\dfrac{\pi}{9}}{\tan\,\dfrac{\pi}{9}} \approx 0,040949 \rightarrow 4,09 \,\% $

Referencias: Ejercicio ( 1.6, página 14 ) propuesto en el libro de J.L. Meriam, Mecánica para Ingenieros, Editorial Reverté, Barcelona, 1988.

$\square$

[nota del autor]

Geometrías no euclídeas

[ programa divulgativo RNE/UNED ]

Consideremos una aplicación lineal $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ dada por $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$ Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

ENUNCIADO.
Consideremos una aplicación lineal
    $f:\,\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$
dada por
    $f(x_1,x_2)=(x_1-x_2\,,\,x_1+2\,x_2,2\,x_1-3\,x_2)$, tomando la base canónica $\{(1,0),\vec(0,1)\}$ de $\mathbb{R}^2$ y la base canónica $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ de $\mathbb{R}^3$
Determinar la matriz de dicha aplicación lineal.

SOLUCIÓN.
Calculando las imágenes de los vectores de la base de $\mathbb{R}^2$, encontramos:
$$f((1,0))=(1-0,1+2\cdot 0,2\cdot 1-3\cdot 0)=(1,1,2)$$
$$f((0,1))=(0-1,0+2\cdot 1,2\cdot 0-3\cdot 1)=(-1,2,-3)$$
Entonces, disponiendo dichos vectores en columna y en el mismo orden que los hemos calculado, encontramos la matriz asociada a la aplicación lineal $$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\1 & 2 \\ 2 & -3\end{pmatrix}$$

Otra forma de hacerlo:
Deberá cumplirse el siguiente producte de matrices (que expresa el sistema de ecuaciones lineales)

$$A \cdot\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \end{matrix}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\begin{matrix}x_1-x_2 \\ x_1+x_2 \\ 2\,x_1-3\,x_2 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

En el primer miembro de esta igualdad encontramos el producto de la matríz $A$ por una matriz $( 2 \times 1 ) $ y el resultado ( segundo miembro ) es una matriz $( 3 \times 1 ) $. Luego, de acuerdo con el producto matricial, la matriz de la aplicación lineal $A$, debe tener $3$ filas y $2$ columnas, $( 3 \times 2 ) $ con los siquientes coeficientes:

$$A_{3 \times 2}=\begin{pmatrix}\begin{matrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \\ 2 & -3 \end{matrix}\end{pmatrix}$$

$\square$

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx$

Solución:
Utilizaremos en este caso la técnica de integración por partes
    $\int \, u\,dv = u\,v -\int\,v\,du$
Designando:
    $u=\arcsin{x} \Rightarrow du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$
    $dv=dx \Rightarrow v=x$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}-\int\,\dfrac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}} \quad \quad \quad (1)$
Calcularemos ahora la integral del segundo miembro, haciendo el cambio de variable $x=\sin{w} \Rightarrow dx=\cos{w}\,dw$, con lo cual
   
$\displaystyle \int\,\dfrac{x \,dx}{\sqrt{1-x^2}}=
\int \,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\sqrt{1-\sin^2 \,w}}=
\int\,\dfrac{\sin{w}\,\cos{w}\,dw}{\cos{w}}=\int\,\sin{w}\,dw$
        $=-\cos{w}+k_1 = \{\text{deshaciendo el cambio}\}=-\sqrt{1-x^2}+k_2$
Y, sustituyendo este resultado en (1), llegamos a
    $\displaystyle \int \, \arcsin{x}\,dx=x\,\arcsin{x}+\sqrt{1-x^2}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2\,2^x}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $2^{x}=t \Rightarrow dt=\ln\,2\cdot 2^x\,dx$
por tanto la integral pedida se transforma en
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x}\,dx}{\cos^2 \,2^x}=\frac{1}{\ln\,2} \,\int\,\dfrac{dt}{\cos^2\,t}=\dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan{t}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{2^{x} \,dx}{ \cos^2 \,2^x}= \dfrac{1}{\ln \,2} \, \tan {2^x}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^{2x}=t \Rightarrow dt=2\,e^{2x}\,dx$
luego podemos escribir la integral de la forma
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=\frac{5}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{7-3\,t}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(-3)}\,\int\,\dfrac{-3\,dt}{7-3\,t}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,t)}+k$
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    $\displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,e^{2x})}+C$

$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}$

Enunciado:
Se trata de una integral semi inmediata; en efecte, mediante el cambio de variable
    $x^2+1=t$
tenemos que
    $dt=2\,x\,dx$
por lo que la integral objetivo se transforma en
    $\displaystyle \int \dfrac{dt}{\sin^2 t}$
cuya familia de primitivas es
    $-\dfrac{1}{\tan{t}}+k$
y, deshaciendo el cambio, queda
    $\displaystyle \int \dfrac{2\,x\,dx}{\sin^2 (x^2+1)}=-\dfrac{1}{\tan{(x^2+1)}}+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida

Enunciado:
Calcular la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+x+1}\,dx$

Solución:
La función del integrando es de tipo racional y su polinomio tiene raíces complejas, con lo cual no podemos descomponer la función
    $\dfrac{1}{x^2+x+1}$
en suma de funciones racionales, que sería la vía estándar a seguir.
Esto nos lleva a probar otro camino de resolución alternativo, que es el siguiente. Podemos expresar el polinomio del denominador de la fracción racional del integrando de la siguiente forma
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2-\dfrac{1}{4}+1$
que es igual a
    $x^2+x+1=\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}$
luego la función del integrando se puede escribir de la forma
    $\dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}$
y, por tanto, la integral objetivo es igual a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{\big(x+\dfrac{1}{2}\big)^2+\dfrac{3}{4}}\,dx$
y haciendo el cambio de variable
    $x+\dfrac{1}{2}= t$
llegamos a
    $\displaystyle \int \, \frac{1}{t^2+\dfrac{3}{4}}\,dt=\int \, \dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\,t^2+\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{4}}\,dt=\frac{4}{3}\,\int \, \dfrac{1}{\big(\frac{2\,t}{\sqrt{3}}\big)^2+1} \,dt$
y, a su vez, haciendo un segundo cambio
    $w=\frac{2\,t}{\sqrt{3}}$
nos queda
    $\displaystyle \frac{4}{3}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\int \, \dfrac{1}{w^2+1} \,dw$
que es igual a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,w+C_1$
Habiendo resuelto ya el problema de integración, procedemos ahora a deshacer los cambios de variable por orden inverso a los pasos realizados, llegando a
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,t}{\sqrt{3}} +C_2$
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,(x+\frac{1}{2}}{\sqrt{3}} +C$
es decir
    $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,\arctan\,\dfrac{2\,x+1}{\sqrt{3}} +C$
que es igual a la familia de primitivas de la función del integrando.
$\square$

[nota del autor]

Resolución de ecuaciones trascendentes con MAXIMA

MAXIMA permite encontrar la solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales (e. trascendentes) haciendo uso de la instrucción solve ( igual que en el caso de las ecuaciones algebraicas ). Vamos a mostrar aquí algunos ejemplos muy sencillos.

Ejemplo 1:

Sea la ecuación $\ln{(2+x)}=3$
Para obtener la solución con MAXIMA, editamos la ecuación en la linea de entrada, tecleando:
          (%i1) solve(log(2+x)=3,x);
y MAXIMA responde:
          (%o1) [x=%e^3-2]
es decir, la solución es
$x=e^3-2$

Ejemplo 2:

Consideremos la ecuación $2^x=5$
Tecleamos:
          (%i2) solve(2^x=5,x);
y la respuesta de MAXIMA es:
          (%o2)
                    $\left[ x={{\log 5}\over{\log 2}} \right]$
por tanto
$x=\dfrac{\ln{5}}{\ln{2}}$

Nota:   Recordemos que para obtener la expresión decimal aproximada ( con una precisión estándar de 16 cifras significativas ) debemos hacer uso de la instrucción
          (%i3) %o2,numer;
obteniendo
          (%o3) 2.321928094887362

Ejemplo 3:

Sea la ecuación $7^{x^2+1}=1$
La editamos en la linea de entrada:
          (%i4) solve(7^(x^2+1)=1,x);
I MAXIMA responde:
          (%o4) $\left[ x=-i , x=i \right]$
es decir
$x=\pm \, i \in \mathbb{C}$
Com puede verse, en este caso, la solución pertenece al cuerpo de los números complejos.
$\square$

[nota del autor]

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]

La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Enunciado:
La suma de tres números naturales es $330$ y sabemos que uno de ellos es el doble de otro y que éste es el triple del tercero. Encontrar estos números.

Solución:
Lo que se nos dice en el enunciado nos lleva a escribirlo en forma de un sistema de ecuaciones
      $\left.\begin{matrix} x + y + z = 330\\ x = 2y \\ y=3z \end{matrix}\right\}$
Sustituyendo la expresión de $y$ de la tercera ecuación en la segunda obtenemos
      $x=6z$
y, a su vez, sustituyendo ambas en la primera, llegamos a
      $6z+3z+z=330$
y, de ahí, determinamos el valor de $z$, que es $33$
Y, conocido el valor de la incógnita $z$, solo nos queda sustituir en las ecuaciones segunda y tercera para encontrar los valores de las incógnitas restantes, $x$ e $y$, que son
    $y=99$   y   $x=198$
$\square$

[nota del autor]

Calcular $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Enunciado:
Calcular
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solución:
La función integrando es una función racional impropia
que vamos a descomponer en forma mixta efectuando la división $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
Vemos que el polinomio cociente es igual a $x$, y que el polinomio residuo es $2\,x+1$
y por el teorema de la división, podemos escribir
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
De ahí, la integral dada se puede poner de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
y teniendo en cuenta que podemos factorizar el polinomio del denominador del tercer término: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escribiremos
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
como la suma de dos fracciones algebraicas
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Entonces, la integral pedida
    $\displaystyle \int \dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx$
es igual a la siguiente suma de integrales ( más sencillas ):
    $\displaystyle \int x \,dx+\int \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx+\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx-\int \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx$
las cuales, integradas y sumadas, conducen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
donde $C$, por ser la constante de integración, puede ser cualquier número real.
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Solución:
La función integrando
    $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x}$
es una función racional, que, habiéndo factoritzado su denominador, puede escribirse de la forma
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
y es, por tanto, del tipus
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
luego se puede expresar como una suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduciendo a común denominador la expresión del segundo miembro, llegamos a
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
y, operando el numerador, nos queda
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
es decir
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
igualando, ahora, los coeficients de los términos del mismo grado entre ambos miembros de la igualdad, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
y, resolviéndolo, vemos que
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
i
    $n=\dfrac{1}{a-b}$

En nuestro caso, tenemos que $b=0$ i $a=1$, por lo que encontramos la solución: $m=1$ y $n=-1$
Entonces
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
y podremos escribir
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
cualculando las integrales inmediatas
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, por las propiedades de los logaritmos, también podemos expresar así
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$

Nota:   $C$, que puede ser cualquier número real, representa la constante de integración, o constante de la familia de funciones primitivas de la función del del integrando
    $F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$
$\square$

[nota del autor]

Ciencia, matemática y filosofía

UNED - Timeo - 01/03/13

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  UNED - Timeo - 01/03/13

Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Enunciado:
Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Resolución:

Obtenemos las coordenadas de los puntos de intersección A i B resolviendo el sistema de ecuaciones

$\left. \begin{matrix} 9-x^2=y\\ 2x+1=y\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución

$A(-4,-7)$

$B(2,5)$

El área del recinto acotado és igual a

$\displaystyle \left|\int_{-4}^{2}\,\big( (9-x^2)-(2x+1)\big)\,dx \right| = \ldots = 36 \quad \text{unidades de \'area}$

Abordemos, ahora, la última parte del problema. El recinto acotado entre la parábola y el eje de abscisas genera, al girarlo alrededor de dicho eje, un cuerpo de revolución. Calcularemos su volumen teniendo en cuenta la simetria de dicho cuerpo.

Considerando el disco de radio $r(h)$ y de grosor $dh$ podemos sumar dichos infintos elementos diferencials de volumen de manera continua calculando la integral

$V=\int_{D}\,\pi\,\big(r(h)\big)^2\,dh$

puesto que $r$ representa la ordenada de un punto del recinto $9-x^2$; el grosor de dicho disco es la cantidad diferencial $dx$, y que los límites de integración (del recinto) són las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas

$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$

podemos concretar el cálculo así

$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\,\pi\,\big(9-x^2)^2\,dx = \ldots = \dfrac{1296}{5}\, \pi \quad \text{unidades de volumen}$

$\square$

[nota del autor]