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martes, 5 de marzo de 2013

Resolver la integral indefinida     \displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    \displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    e^{2x}=t \Rightarrow dt=2\,e^{2x}\,dx
luego podemos escribir la integral de la forma
    \displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=\frac{5}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{7-3\,t}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{(-3)}\,\int\,\dfrac{-3\,dt}{7-3\,t}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,t)}+k
Deshaciendo, finalmente, el cambio de variable
    \displaystyle \int \, \dfrac{5\,e^{2x}\,dx}{7-3\,e^{2x}}=-\frac{5}{6}\,\ln{(7-3\,e^{2x})}+C

\square

[nota del autor]

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